Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер: Най ти объ ем те ла, ог ра ни чен но го по верх но стью вра ще -
ния
y x=
3
,
0 1< <x
.
V x dx= =
ò
p
p
6
0
1
7
5) Дли на ду ги кри вой.
Рас смот рим кри вую АВ.
Ра зо бьем ее точ ка ми M
0
, M
1
, … M
n
и со еди ним их ло ма ной ли ни ей
M
0
M
1
M
n
.
Оп ре де ле ние: За дли ну S кри вой АВ при ни ма ет ся пре дел, к ко то -
ро му стре мит ся ло ман ная при стрем ле нии к ну лю наи боль ше го от рез ка.
Пря мые, для ко то рых су ще ст ву ет пре дел S, на зы ва ют ся спрям ляе -
мы ми.
Пусть кри вая АВ за да на в па ра мет ри че ской фор ме:
x t= j( )
;
y t= y( )
;
a b< <t
. Дли на ло ман ной прямой :
( ) ( )
p M M x x y y
t t
i
i
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
= = - + - =
= -
-
=
- -
=
-
å å
1
1
1
2
1
2
1
1
j j( ) (
( ) ( )
) ( ) ( )
2
1
2
1
+ -
-
=
å
y yt t
i
i
i
n
42
      Пример: Найти объем тела, ограниченного поверхностью враще-
ния y = x 3 , 0 < x < 1.




                                                     1
                                                                  p
                                             V = pò x 6 dx =
                                                     0
                                                                  7
     5) Длина дуги кривой.
     Рассмотрим кривую АВ.




       Разобьем ее точками M0, M1, … Mn и соединим их ломаной линией
M0M1Mn .
       Определение: За длину S кривой АВ принимается предел, к кото-
рому стремится ломанная при стремлении к нулю наибольшего отрезка.
       Прямые, для которых существует предел S, называются спрямляе-
мыми.
       Пусть кривая АВ задана в параметрической форме: x = j(t );
y = y(t ); a < t < b. Длина ломанной прямой :
            n                        n
                                                          2                      2
     p=    åM
           i =1
                  i -1
                         Mi = å
                                    i =1
                                           ( x i - x i -1 ) + ( y i - y i -1 )       =
            n
                                             2                             2
       =   å ( j(t
           i =1
                         i   ) - j(t i -1 )) + ( y (t i ) - y (t i -1 ))

42

Страницы