Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6) Пло щадь по верх но сти вра ще ния:
Рас смот рим кри вую
y f x= ( )
,
a x b£ £
. Ра зо бьем ду гу ab на n час -
тей и со еди ним ло ман ной ли ни ей. По лу чит ся n усе чен ных ко ну сов.
Рас смот рим i-й ко нус, его вы со та — Dx
i
, ра ди ус ос но ва ния
y f x
i i
= ( )
.
Об ра зую щая рав на:
( )
( ) ( ) ( )x x f x f x
i
i
i
i
- + -
- -1
2
1
2
Пло щадь S бо ко вой по верх но сти:
( )
S
f x f x
x x f x f x
i
i
i
i
i
i
=
+
- + -
-
- -
2
2
1
1
2
1
2
p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
Сред нее ме ж ду
f x
i
( )
-1
и
f x
i
( )
рав но:
f
f x f x
i
i
i
( )
( ) ( )
h =
+
-1
2
.
По тео ре ме Ла гран жа:
f x f x f x x
i
i
i i
i
( ) ( ) ( )( )- = ¢ -
- -1 1
z
.
Та ким об ра зом:
S f f x
i i i i
= + ¢2 1
2
p h z( ) ( )D
.
Ес ли су ще ст ву ют пре дел этой сум мы, то он яв ля ет ся пло ща дью
по верх но сти вращения:
S S f x f x dx
x
a
b
= = + ¢
®
ò
lim ( ) ( )
0
2
2 1p
.
При мер: Вы чис лить пло щадь по верх но сти па ра бо лои да ра диу са
R, от се чен но го на рас стоянии Н.
x ky=
2
,
H k R=
2
, то есть
k
H
R
=
2
. Таким об ра зом
x k
H
R
y=
2
2
или
y R
x
H
=
.
44
     6) Площадь поверхности вращения:
     Рассмотрим кривую y = f ( x ), a £ x £ b. Разобьем дугу ab на n час-
тей и соединим ломанной линией. Получится n усеченных конусов.
Рассмотрим i-й конус, его высота — Dxi, радиус основания y i = f ( x i ).
                                                                                         2
       Образующая равна: ( x i - x i -1 ) 2 + ( f ( x i ) - f ( x i -1 ))
       Площадь S боковой поверхности:
                      f ( x i ) + f ( x i -1 )                                                  2
             S = 2p                              ( x i - x i -1 ) 2 + ( f ( x i ) - f ( x i -1 )) .
                                2
                                                                  f ( x i -1 ) + f ( x i )
       Среднее между f ( x i -1 ) и f ( x i ) равно: f (h i ) =                           .
                                                                             2
       По теореме Лагранжа: f ( x i ) - f ( x i -1 ) = f ¢ (z i )( x i - x i -1 ).
     Таким образом: S i = 2 p f (h i ) 1 + f ¢ 2 (z i )Dx i .
     Если существуют предел этой суммы, то он является площадью
поверхности вращения:
                                                    b
                            S = lim S = 2 pò f ( x ) 1 + f ¢ 2 ( x )dx .
                                    x ®0
                                                    a

      Пример: Вычислить площадь поверхности параболоида радиуса
R, отсеченного на расстоянии Н.




                                                        H                        H
       x = ky 2 , H = kR 2 , то есть k =                  2
                                                            . Таким образом x = k 2 y 2 или
                                                        R                        R
       x
y =R     .
       H
44

Страницы