Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При ме ним тео ре му Ла гран жа:
( ) ( )
p t t t
i i
i
n
i
= ¢ + ¢
=
å
j y
2 2
1
D
.
Ес ли кри вая АВ спрям ляе ма, то су ще ст ву ет пре дел р, рав ный дли -
не дуги :
( ) ( )
S t t dt x y dx
i i
a
= ¢ + ¢ = ¢ + ¢
òò
j y
a
bb
2 2 2 2
.
Ес ли кри вая АВ за да на яв но:
y f x= ( )
на от рез ке [а,b], то при ни мая
х за па ра метр, по лу чим, как ча ст ный случай:
S f x dx y dx
a
b
a
b
= + ¢ = + ¢
òò
1 1
2 2
( )
.
Ес ли кри вая АВ за да на в по ляр ных ко ор ди на тах:
r j= f ( )
,
a j b£ £
то, учи ты вая ра вен ст ва:
x f= ( )cosj j
,
y f= ( )sinj j
.
При этом:
dx
d
f f
j
j j j j= ¢ -( )cos ( )sin
;
dy
d
f f
j
j j j j= ¢ -( )sin ( )cos
;
dx
d
dy
d
f f
j j
j j
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
¢ -
2 2
2 2
( ) ( )
.
То есть
S f f d= + ¢
ò
2 2
( ) ( )j j j
a
b
или
S d= + ¢
ò
r r j
a
b
2 2
При мер: Най ти дли ну ду ги кар дио и ды
r j= +a( cos )1
.
S a d
a d a d
= + + =
= + + =
ò
2 1
2 1 2 1 2 2 2
2
2 2
0
( cos ) sin
cos cos
j j j
j j
j
p
j
j
j p p
p
pp
=
=
=
= =
½
½
½
½
½
½
=
½
½
½
=
òò
00
2
2
8
2
0
8
t
t
a t a
;
sin
43
      Применим теорему Лагранжа:
                                        n
                                p = å j¢ 2 ( t i ) + y ¢ 2 ( t i ) Dt i .
                                       i =1


      Если кривая АВ спрямляема, то существует предел р, равный дли-
не дуги :
                       b                                       b

                 S = ò j¢ 2 ( t i ) + y ¢ 2 ( t i )dt = ò x ¢ 2 +y ¢ 2 dx .
                       a                                       a


       Если кривая АВ задана явно: y = f ( x ) на отрезке [а,b], то принимая
х за параметр, получим, как частный случай:
                                   b                       b
                           S = ò 1 + f ¢ 2 ( x )dx = ò 1 + y ¢ 2 dx .
                                   a                       a


      Если кривая АВ задана в полярных координатах: r = f (j), a £ j £ b
то, учитывая равенства: x = f (j)cos j, y = f (j)sin j.
      При этом:
      dx
         = f ¢ (j)cos j - f (j)sin j;
      dj
      dy
         = f ¢ (j)sin j - f (j)cos j;
      dj
           2           2
      æ dx ö æ dy ö 2
      çç ÷÷ = çç ÷÷ f ¢ (j) - f 2 (j).
       è dj ø è dj ø
                   b                                               b

      То есть S = ò f 2 (j) + f ¢ 2 (j)dj или S = ò r 2 + r¢ 2 dj
                   a                                               a

      Пример: Найти длину дуги кардиоиды r = a(1 + cos j).
                            p
                S = 2aò (1 + cos j) 2 + sin 2 jdj =
                            0
                       p                           p
                                                        j
                   = 2aò 1 + 2 cos j +1dj = 2 2a 2 ò cos dj =
                       0                           0
                                                        2
                    ½j 2 = t       ½
                                   ½ = 8a sin t½
                                                p2
                   =½                          ½ = 8a
                    ½j = p; t = p 2½           ½0
                                                                              43

Страницы