ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
S R
x
H
R
x
H
dx
R
H
x
R
H
H
= +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
¢
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
= +
ò
2 1 2 1
1
4
2
0
2
p p
x
dx
R
H
xH R dx
R
H
xH R
H
R
H
H
H
H
=
= + =
+
=
=
ò
ò
0
2
0
2 3 2
2
4
4
3
2
4
6
4
p p
p
( )
(
2 2
3 2
3
+ -
é
ë
ê
ù
û
ú
R R)
2.3.4. Не соб ст вен ные ин те гра лы
До сих пор счи та ли, что ин тер вал ин тег ри ро ва ния ко не чен и по -
дын те граль ная функ ция на нем не об ра ща ет ся в бес ко неч ность. Та кие
ин те гра лы на зы ва ют ся ин те гра ла ми в соб ст вен ном смыс ле сло ва, или ко -
рот ко, соб ст вен ны ми. Ес ли од но из этих ус ло вий на ру ша ет ся, то ин те -
грал на зы ва ет ся не соб ст вен ным. Несобственный интеграл может не
иметь численного значения.
1) Ин те грал с бес ко неч ны ми пре де ла ми.
F x dx F x dx
a
b
a
b
( ) lim ( )
+¥
®+¥
ò ò
=
— ес ли та кой пре дел су ще ст ву ет, то не соб -
ст вен ный ин те грал су ще ст ву ет и схо дит ся. Ес ли та ко го пре де ла нет,
или этот пре дел бес ко не чен, то не соб ст вен ный ин те грал не су ще ст ву ет
или рас хо дит ся. Ана ло гич но определяется несобственный интеграл:
f x dx f x dx
b
a
a
b
( ) lim ( )
-¥
®-¥
ò ò
=
и
f x dx f x dx f x dx
c
c
( ) ( ) ( )
-¥
¥
-¥
+¥
ò ò ò
= +
.
Оп ре де ле ние: Ес ли функ ция f(x) не пре рыв на и не от ри ца тель на на
про ме жут ке
[ , ]a +¥
, то ве ли чи на не соб ст вен но го ин те гра ла
f x dx
a
( )
+¥
ò
рав на
пло ща ди бес ко неч ной тра пе ции, ог ра ни чен ной свер ху ли ни ей
y f x= ( )
.
При ме ры:
а)
|
dx
x
dx
x
x b
b b
b
b
b
1 1
2
2 2
0
0
+
=
+
= = =
®¥ ®¥
®¥
ò
lim limarctg arctg
p
0
+¥
ò
45
2
H é ¢ù H
x ê æ
ç x ö÷ ú R R2 1
S = 2 pò R 1+ R dx = 2 p ò x1 + dx =
H ê ç H ø÷ ú H H 4x
0
êëè ûú
0
H
R R (4 xH + R 2 ) 3 2
=p ò 4 xH + R 2 dx = p =
H H 3
0 4H
2
pR é(4H 2 + R 2 ) 3 2
= -R 3 ù
6H 2 êë úû
2.3.4. Несобственные интегралы
До сих пор считали, что интервал интегрирования конечен и по-
дынтегральная функция на нем не обращается в бесконечность. Такие
интегралы называются интегралами в собственном смысле слова, или ко-
ротко, собственными. Если одно из этих условий нарушается, то инте-
грал называется несобственным. Несобственный интеграл может не
иметь численного значения.
1) Интеграл с бесконечными пределами.
+¥ b
ò F ( x)dx = lim ò F ( x)dx — если такой предел существует, то несоб-
a
b ®+¥
a
ственный интеграл существует и сходится. Если такого предела нет,
или этот предел бесконечен, то несобственный интеграл не существует
или расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл:
b b
ò f ( x )dx = lim ò f ( x )dx и
a ®-¥
-¥ a
¥ c +¥
ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx.
-¥ -¥ c
Определение: Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на
+¥
промежутке [a,+¥], то величина несобственного интеграла ò f ( x)dx равна
a
площади бесконечной трапеции, ограниченной сверху линией y = f ( x ).
Примеры:
+¥ b
dx dx b p
а) ò = lim = limarctg x| 0 = arctg b =
2 b ®¥ ò 2
2
0 1+ x 0 1+ x
b ®¥ b ®¥
45
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
