Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер:
1
2 3
3
2
2 1 0 881
3
1
2
1 3
2 3
1
2
2 3
1
2
x
dx x dx
x
-
-
-
-
ò ò
= =
½
½
½
= - =( ) ,
3) Спе ци аль ные функ ции
а) Гам ма-функ ция
Не соб ст вен ный ин те грал:
G( )p e x dx
x
p
=
-
¥
-
ò
0
1
— на зы ва ет ся эй ле ро -
вым ин те гра лом вто ро го ро да. На верх нем пре де ле (
+¥
) ин те грал схо -
дит ся, так как
e
x-
при
x ® ¥
стре мит ся к ну лю, бы ст рее, чем
x
p
. На
ниж нем пре де ле (0) ин те грал схо дит ся толь ко для
p > 0
, та ким об ра зом
0< < ¥p
.
Про ве дем ин тег ри ро ва ние по час тям:
|
G( )p e x dx e x e px dx
x
p
x
p
x
p
+ = = - +
-
¥
-
¥
-
-
¥
ò ò
1
0
0
1
0
то есть
G G( ) ( )p p p+ =1
;
|
G( )1 1
0
1 1
0
0
= = = - =
-
¥
- -
¥
-
¥
ò ò
e x dx e dx e
x x x
.
Ана ло гич но по лу чим:
G G( ) ( )2 1 1 1= =
;
G G( ) ( )3 2 2 2 1= = ×
;
G G( ) ( )4 3 3 3 2 1= = × ×
;
G ( ) !n n+ =1
то есть
0 1 1! ( )= =G
.
б) Бет та-функ ция
Не соб ст вен ный ин те грал:
B p q x x dx
p q
= = -
- -
ò
( , ) ( )
1 1
0
1
1
— на зы ва ет ся эй ле ро вым ин те гра лом
пер во го ро да. Ин те грал схо дит ся толь ко для
p > 0
,
q > 0
в интервале [0,1].
Мож но по ка зать, что
B p q
p q
p q
( , )
( ) ( )
( )
=
+
G G
G
.
По ло жим
p q= =1 2
:
B x x dx( ; ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1
2 1 2
0
1
1 2
= = - =
- -
ò
G
|
=
-
=
- -
= - - =
òò
dx
x x
dx
x
x
( )
( )
( )
1
2
1 1 2
1 2
2
0
1
0
1
0
1
arcsin p
47
        Пример:
                      2                     2                              2
                               1                  -1 3         x 2 3½
                                                                    ½ = 3 (2 2 3 -1) = 0,881
                      ò                dx = ò x           dx =
                      -1
                           3
                                   x        -1
                                                               2 3 ½-1 2

        3) Специальные функции
        а) Гамма-функция
                                                                               ¥
        Несобственный интеграл: G( p) = ò e - x x p -1 dx — называется эйлеро-
                                                                               0

вым интегралом второго рода. На верхнем пределе (+¥) интеграл схо-
дится, так как e - x при x ® ¥ стремится к нулю, быстрее, чем x p . На
нижнем пределе (0) интеграл сходится только для p > 0, таким образом
0< p < ¥.
      Проведем интегрирование по частям:
                                            ¥                                              ¥
                                                                                       ¥
                      G( p +1) = ò e - x x p dx = -e - x x p                           | +òe
                                                                                       0
                                                                                               -x
                                                                                                    px p -1 dx
                                            0                                              0

                                                      ¥                            ¥
                                                                                                            ¥
то есть G( p +1) = pG( p); G(1) = ò e - x x 1 -1 dx = ò e - x dx = -e - x                               |   0
                                                                                                                = 1.
                                                      0                            0

        Аналогично получим:
        G(2) = 1G(1) = 1; G(3) = 2 G(2) = 2 ×1; G(4) = 3G(3) = 3 × 2 ×1; G(n +1) = n !
        то есть 0! = G(1) = 1.
        б) Бетта-функция
        Несобственный интеграл:
                               1
        B = ( p,q) = ò x p -1 (1 - x ) q -1 dx — называется эйлеровым интегралом
                               0

первого рода. Интеграл сходится только для p > 0, q > 0 в интервале [0,1].
                                   G( p)G(q)
     Можно показать, что B( p,q) =           .
                                   G( p + q)
     Положим p = q =1 2:
                                                                      1
                               B(1 2 ; 1 2) = G 2 (1 2) = ò x -1 2 (1 - x ) -1 2 dx =
                                                                      0

                  1                               1
                                   dx                          dx                                               1
               =ò                           = 2ò                                   = -arcsin (1 - 2 x )| 0 = p
                  0            x (1 - x )         0       1 - (1 - 2 x )   2



                                                                                                                       47

Страницы