Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

То есть
G( )1 2 = p
.
От сю да важ ный «не бе ру щий ся» ин те грал:
e dx x t e t dt e t d t
x t t- - - - -
¥¥
= = = = = =
òò
1
2
1
2
1
2
1 2
1 2 1 2 1
00
G( )
p
2
0
¥
ò
в) d-функ ция Ди ра ка
Рас смот рим функ цию
F( )x e
x
=
-
2
, ко то рая на зы ва ет ся нор маль -
ной кри вой (см. рис.2.3.1).
Ум но жим у на m:
y m x= F( )
— уве ли чи ва ет ся вы со та ли нии в m раз.
Ум но жим х на m:
x mx= F( )
— ши ри на умень ша ет ся в m раз.
Но пло щадь под кри вой ос та лась по сто ян ной, дей ст ви тель но:
m mx dx mx d mx s ds x dxF F F F( ) ( ) ( ) ( ) ( )
-¥
¥
-¥
¥
-¥
¥
-¥
¥
ò ò ò
= = = = 1
ò
Пусть
m ® ¥
:
— для всех
x m mx¹ ®0 0F( )
, т.к.
F( )mx e
mx
=
-
2
умень ша ет ся бы -
ст рее, чем уве ли чи ва ет ся m (ли ния су жа ет ся);
— для всех
x m= ® ¥0 0F( )
с рос том m.
То есть по лу ча ет ся функ ция со сле дую щи ми свой ст ва ми:
1) функ ция рав на ну лю для
x < 0
и
x > 0
;
2) функ ция рав на бес ко неч но сти при
x = 0
;
3) ин те грал от этой функ ции от
-¥
до
+¥
ра вен 1.
Та кая функ ция на зы ва ет ся d-функ ци ей:
d( )x
x
x
=
¹
¥ =
ì
í
î
0 0
0
48
Ри су нок 2.3.1
      То есть G(1 2) = p.
      Отсюда важный «неберущийся» интеграл:
       ¥                      ¥              ¥
          -x              1 - t -1 2   1                     1          p
       ò e dx = x = t =        e t dt = ò e - t t 1 2 -1 dt = G(1 2) =
       0
                          2 ò0         20                    2         2

     в) d-функция Дирака
                                      2
     Рассмотрим функцию F( x ) = e - x , которая называется нормаль-
ной кривой (см. рис.2.3.1).




                                  Рисунок 2.3.1


      Умножим у на m: y = mF( x ) — увеличивается высота линии в m раз.
      Умножим х на m: x = F(mx ) — ширина уменьшается в m раз.
      Но площадь под кривой осталась постоянной, действительно:
           ¥              ¥                   ¥        ¥

           ò mF(mx)dx = ò F(mx)d(mx) = ò F( s)ds = ò F( x)dx =1
           -¥             -¥                 -¥        -¥


      Пусть m ® ¥:
                                                        2
      — для всех x ¹ 0 mF(mx ) ® 0, т.к. F(mx ) = e - mx уменьшается бы-
стрее, чем увеличивается m (линия сужается);
      — для всех x = 0 mF(0) ® ¥ с ростом m.
      То есть получается функция со следующими свойствами:
      1) функция равна нулю для x < 0 и x > 0;
      2) функция равна бесконечности при x = 0;
      3) интеграл от этой функции от -¥ до +¥ равен 1.
                                                        ì0 x ¹ 0
      Такая функция называется d-функцией: d( x ) = í
                                                        î¥ x = 0
48

Страницы