Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б)
e dx e dx e e e
x
a
x
a
x
a
a
a2 2 2
1
2 2
1
2
1
2
= = = -
®-¥ ®-¥ ®-¥
lim lim lim ( ) =
òò
-¥
e
a
2
11
2
в)
e dx I I
x
= +
-¥
+¥
ò
1
2
|
I e dx e e
b
x
b
x
b
b
b
b
1
0
0
1= = = - = ¥
®¥ ®¥ ®¥
ò
lim lim lim( )
Этот ин те грал рас хо дит ся, не смот ря на то, что вто рая часть схо -
дит ся:
|
I e dx e e
a
x
a
x
a
a
a
a
2
0
0
1 1= = = - =
®¥ ®¥ ®-¥
ò
lim lim lim ( )
Не соб ст вен ный ин те грал мож но вы чис лить по фор му ле Нью то -
на-Лейб ни ца:
а)
f x dx f x dx F N F a F F a
N
a
N
N
( ) lim ( ) lim[ ( ) ( )] ( ) ( )= = - = ¥ -
®¥ ®¥
ò
a
¥
ò
— ес ли су -
ще ст ву ет
lim ( )F b
при
b ® ¥
;
б)
f x dx F F( ) ( ) ( )= +¥ - -¥
-¥
+¥
ò
— ес ли су ще ст ву ют
lim ( )F b
и lim
F a( )
при
b ® ¥
,
a ® ¥
.
2) Не соб ст вен ные ин те гра лы от не ог ра ни чен ных функ ций.
Пусть функ ция
f x( )
пе ре ста ет быть ко неч ной на од ном из пре де -
лов (на при мер а), то гда су ще ст ву ет ин те грал от бес ко неч ной функции:
f x dx f x dx
a
b
a
b
( ) lim ( )
ò ò
=
®
+
e
e
0
— ес ли этот пре дел су ще ст ву ет.
Точ ка, в ко то рой функ ция пе ре ста ет быть ко неч ной на зы ва ет ся
осо бен но стью рас смат ри вае мо го интеграла.
Оп ре де ле ние: Ес ли функ ция
F x( )
не пре рыв на и не от ри ца тель на
на ин тер ва ле [a,b], не ог ра ни че на вбли зи b и не соб ст вен ный ин те грал
схо дит ся, то его ве ли чи на рав на пло ща ди бес ко неч ной тра пе ции, ог ра -
ни чен ной кри вой
y f x= ( )
и пря мы ми
x a=
,
x b=
.
Здесь так же мож но поль зо вать ся фор му лой Нью то на-Лейб ни ца:
|
f x dx F x
a
b
a
b
( ) ( )
ò
=
— ес ли пер во об раз ная не име ет раз ры ва и су ще -
ст ву ет предел.
46
           1                               1                            1
                                                                 1 2x           1                      e2
      б)   ò    e 2 x dx = lim ò e 2 x dx = lim                    e        =     lim (e 2 - e 2 a ) =
                              a ®-¥                        a ®-¥ 2              2 a ®-¥                2
           -¥                              a                            a
           +¥
      в) ò e x dx = I 1 + I 2
           -¥
                       b
                                                      b
      I 1 = lim ò e x dx = lim e x
                b ®¥                       b ®¥
                                                  |   0
                                                          = lim(e b -1) = ¥
                                                            b ®¥
                       0

      Этот интеграл расходится, несмотря на то, что вторая часть схо-
дится:
                       0
                                                      0
      I 2 = lim ò e x dx = lim e x
                a ®¥                       a ®¥
                                                  |   a
                                                          = lim (1 - e a ) = 1
                                                            a ®-¥
                       a

     Несобственный интеграл можно вычислить по формуле Ньюто-
на-Лейбница:
           ¥                               N
      а) ò f ( x )dx = lim ò f ( x )dx = lim[F (N ) - F (a)] = F (¥) - F (a) — если су-
                              N ®¥                          N ®¥
           a                               a

ществует lim F (b) при b ® ¥;
           +¥
      б)   ò f ( x)dx = F (+¥) - F (-¥) — если существуют lim F (b) и limF (a)
           -¥

при b ® ¥, a ® ¥.
      2) Несобственные интегралы от неограниченных функций.
      Пусть функция f ( x ) перестает быть конечной на одном из преде-
лов (например а), тогда существует интеграл от бесконечной функции:
      b                            b

      ò
      a
          f ( x )dx = lim
                           e ®0    ò f ( x)dx — если этот предел существует.
                                  a+ e

      Точка, в которой функция перестает быть конечной называется
особенностью рассматриваемого интеграла.
     Определение: Если функция F ( x ) непрерывна и неотрицательна
на интервале [a,b], не ограничена вблизи b и несобственный интеграл
сходится, то его величина равна площади бесконечной трапеции, огра-
ниченной кривой y = f ( x ) и прямыми x = a, x = b.
     Здесь также можно пользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
      b
                                       b
      ò f ( x)dx = F ( x)|
      a
                                       a
                                            — если первообразная не имеет разрыва и суще-

ствует предел.
46

Страницы