Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

( )
S
a
d a= + =
ò
2
2
0
2
2
2
1
3
2
cosj j
p
p
3) Объ ем те ла.
Рас смот рим в про стран ст ве те ло V. Вся кий мно го гран ник К, со -
дер жа щий внут ри се бя это те ло, на зы ва ет ся опи сан ным, а вся кий мно го -
гран ник k, со дер жа щий ся внут ри те ла V, на зы ва ет ся впи сан ный в это
тело.
Оп ре де ле ние: Те ло V на зы ва ет ся ку би руе мым, ес ли су ще ст ву ют по -
сле до ва тель но сти опи сан ных и впи сан ных в не го мно го гран ни ков, объ -
е мы ко то рых име ют об щий (ко неч ный) пре дел:
lim . lim .
n
n
n
n
K k V
®¥ ®¥
= =об об
.
Этот об щий пре дел на зы ва ет ся объ е мом те ла V.
Пусть пло щадь лю бо го се че ния Т те ла V есть не пре рыв ная функ -
ция х:
S x( )
,
a x b< <
, a и b — край ние точ ки те ла V. Ра зо бьем от ре зок
[ , ]a b
точ ка ми x
1
, x
2
, … x
n
.
Обо зна чим наи боль шее зна че ние се че ния че рез
M
i
, а наи мень -
шее че рез
m
i
.
По стро им на со сед них се че ни ях ци лин д ры опи сан ный и впи сан -
ный. Их объ е мы:
M x
i i
D
и
m x
i i
D
.
Про из во дя ана ло гич ные по строе ния для ка ж до го от рез ка
Dx
i
, по -
лу чим опи сан ное око ло те ла V и впи сан ное в не го тело, цилиндры.
Их объ е мы:
M x
i i
i
n
D
=
å
1
и
m x
i i
i
n
D
=
å
1
. При стрем ле нии ша га
Dx
i
® 0
,
эти сум мы име ют об щий пре дел, ко то рый на зы ва ет ся объ е мом этого
тела:
V S x dx
a
b
=
ò
p ( )
, так как те ло V — ку би руе мо.
4) Объ ем те ла вра ще ния.
Рас смот рим кри вую
y f x= ( )
, не пре рыв ную на от рез ке [a,b]. Ес ли
со от вет ст вую щую ей кри во ли ней ную тра пе цию вра щать во круг оси ОХ,
то об ра зу ет ся тело вращения.
Се че ние:
S x f x( ) ( )= p
2
, так как
f x R( )-
— ра ди ус кру га. Зна чит:
V f x dx y dx
a
b
a
b
= =
òò
p p
2 2
( )
41
                                       2p
                                  a2                           2          3p 2
                            S=
                                  2    ò (1 + cos j)
                                       0
                                                                   dj =
                                                                          2
                                                                            a

      3) Объем тела.
      Рассмотрим в пространстве тело V. Всякий многогранник К, со-
держащий внутри себя это тело, называется описанным, а всякий много-
гранник k, содержащийся внутри тела V, называется вписанный в это
тело.
      Определение: Тело V называется кубируемым, если существуют по-
следовательности описанных и вписанных в него многогранников, объ-
емы которых имеют общий (конечный) предел:
                            lim об.K n = lim об.kn = V .
                            n ®¥                        n ®¥

      Этот общий предел называется объемом тела V.
      Пусть площадь любого сечения Т тела V есть непрерывная функ-
ция х: S ( x ), a < x < b, a и b — крайние точки тела V. Разобьем отрезок [a, b]
точками x1, x2, … xn.
      Обозначим наибольшее значение сечения через M i , а наимень-
шее через m i .
      Построим на соседних сечениях цилиндры описанный и вписан-
ный. Их объемы: M i Dx i и m i Dx i .
      Производя аналогичные построения для каждого отрезка Dx i , по-
лучим описанное около тела V и вписанное в него тело, цилиндры.
                      n                       n
      Их объемы:     åM
                     i =1
                            i   Dx i и     å m Dx
                                             i =1
                                                    i      i   . При стремлении шага Dx i ® 0,

эти суммы имеют общий предел, который называется объемом этого
тела:
            b
      V = pò S ( x )dx , так как тело V — кубируемо.
            a


      4) Объем тела вращения.
      Рассмотрим кривую y = f ( x ), непрерывную на отрезке [a,b]. Если
соответствующую ей криволинейную трапецию вращать вокруг оси ОХ,
то образуется тело вращения.
      Сечение: S ( x ) = p f 2 ( x ), так как f ( x ) - R — радиус круга. Значит:
                                         b                          b
                                V = pò f 2 ( x )dx = pò y 2 dx
                                         a                          a


                                                                                           41

Страницы