Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оп ре де ле ние: Пре дел, к ко то ро му стре мит ся ин те граль ная сум ма
при
Dx ®0
, на зы ва ет ся оп ре де лен ным ин те гра лом от функ ции f(x) по
ин тер ва лу ин тег ри ро ва ния и обо зна ча ет ся:
f x dx f x
a
b
k k
k
n
( ) lim ( )
ò
å
=
=
x D
1
.
Чис ла а и b на зы ва ют ся со от вет ст вен но ниж ним и верх ним пре де ла -
ми ин тег ри ро ва ния, от ре зок [а,b] — про ме жут ком ин тег ри ро ва ния.
Гео мет ри че ский смысл оп ре де лен но го ин те гра ла: он чис лен но ра вен
пло ща ди кри во ли ней ной тра пе ции с ос но ва ни ем [а,b], ог ра ни чен ной
свер ху кри вой
y f x= ( )
.
2) Свой ст ва оп ре де лен но го ин те гра ла.
а) Зна че ние оп ре де лен но го ин те гра ла не за ви сит от обо зна че ния
пе ре мен ной интегрирования:
f x dx f t dt f u du
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( )= =
ò ò ò
.
б) Оп ре де лен ный ин те грал ме ня ет знак при пе ре ста нов ке пре де -
лов ин тег ри ро ва ния:
f x dx f x dx
a
b
b
a
( ) ( )= -
ò ò
.
в)
dx b a
a
b
= -
ò
.
г) По сто ян ный мно жи тель мож но вы но сить за знак оп ре де лен но -
го интеграла:
cf x dx c f x dx
a
b
a
b
( ) ( )=
òò
.
д) Оп ре де лен ный ин те грал от сум мы (раз но сти) двух функ ций
f x
1
( )
и
f x
2
( )
ра вен сум ме (раз но сти) оп ре де лен ных ин те гра лов от
слагаемых:
[ ]
f x f x dx f x dx f x d x
a
b
a
b
a
b
1
2
1
2
( ) ( ) ( ) ( )± = ±
ò òò
.
33
     Определение: Предел, к которому стремится интегральная сумма
при Dx ® 0, называется определенным интегралом от функции f(x) по
интервалу интегрирования и обозначается:
                                 b                     n

                                ò    f ( x )dx = lim å f (x k )Dx k .
                                 a                    k =1


      Числа а и b называются соответственно нижним и верхним предела-
ми интегрирования, отрезок [а,b] — промежутком интегрирования.
      Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен
площади криволинейной трапеции с основанием [а,b], ограниченной
сверху кривой y = f ( x ).

     2) Свойства определенного интеграла.
     а) Значение определенного интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования:
     b               b           b

     ò   f ( x )dx =ò f (t )dt =ò f (u)du.
     a               a           a

      б) Определенный интеграл меняет знак при перестановке преде-
лов интегрирования:
     b                   a

     ò   f ( x )dx = - ò f ( x )dx .
     a                   b

          b
     в) ò dx = b - a.
          a

      г) Постоянный множитель можно выносить за знак определенно-
го интеграла:
     b                   b

     ò cf ( x)dx = c ò f ( x)dx.
     a                   a

         д) Определенный интеграл от суммы (разности) двух функций
f1 ( x ) и f 2 ( x ) равен сумме (разности) определенных интегралов от
слагаемых:
     b                               b            b

     ò [ f1 ( x) ± f 2 ( x)]dx = ò f1 ( x)dx ±ò f 2 ( x)dx.
     a                               a            a


                                                                        33

Страницы