Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

= - + - + = - + - +t t t t c x x x x c
3 5 7 3 5 7
3
5
1
7
3
5
1
7
sin sin sin sin
Пра ви ло 4: Ес ли функ ция
R x x(sin ,cos )
чет на от но си тель но
sin x
и
cos x
, то ин те грал под ста нов кой
t x= tg
про во дит ся к ин те гра лу от ра -
цио наль ной функ ции.
До ка за тель ст во: Пре об ра зу ем функ цию:
R x x R x x x(sin ,co s ) ( co s ,sin )= ×tg
Так как она чет на от но си тель но cosx, то мо жет со дер жать толь ко
чет ные сте пе ни, но
cos
2
2 2
1 1
1
x
x x
= =
+sec tg
,
по это му R(sin x,cos x)=r(tg x). Ум но жим и раз де лим r(tg x) на
sec
2
x
и
сде ла ем под ста нов ку: t=tg x;
dt xdx= sec
2
. По лу чим:
R x x dx r x dx
r x
x
xdx r t d(sin ,cos ) ( )
( )
( )= =
+
=tg
tg
tg
sec
1
2
2
1
t
òòòò
При мер:
dx
x x x x
t x dt xdx
sin sin cos cos
;
2 2
2
6+ × +
= = =
ò
tg sec
По дын те граль ная функ ция чет на от но си тель но sin x и cos x; раз -
де лим и ум но жим на cos
2
х:
sec
tg tg
tg
2
2 2 2
6 16 6 16 3 25
1
10
xdx
x x
dt
t t
dt
t+ -
=
+ -
=
+ -
=
( )
ln
x
x
c
-
+
½
½
½
½
½
½
+
òòò
2
8tg
Пра ви ло 5: Ин те грал от це лых сте пе ней tg x и ctg x и от sec x и
cosec x удоб но брать, ис поль зуя со от но ше ния:
t g
2 2
1x x= -sec
;
ctg cosec
2 2
1x x= -
.
При ме ры:
t xdx x x dx x xdxg tg sec tg sec
4 2 2 2 2
1= - = × -
òòò
( )
- = × - + = -
ò òòòò
tg tg sec sec tg tg
2 2 2 2 2
xdx x xdx xdx dx xd x( )
- + = - + +
òò
sec tg tg
2 3
1
3
xdx dx x x x c
.
30
                  3     1                           3         1
       = t - t 3 + t 5 - t 7 + c = sin x - sin 3 x + sin 5 x - sin 7 x + c
                  5     7                           5         7
       Правило 4: Если функция R(sin x ,cos x ) четна относительно sin x и
cos x, то интеграл подстановкой t = tg x проводится к интегралу от ра-
циональной функции.
       Доказательство: Преобразуем функцию:
                            R(sin x ,cos x ) = R(tg x × cos x ,sin x )
     Так как она четна относительно cosx, то может содержать только
четные степени, но
                                              1       1
                                cos 2 x =        =           ,
                                            sec x 1 + tg 2 x
                                               2



поэтому R(sin x,cos x)=r(tg x). Умножим и разделим r(tg x) на sec 2 x и
сделаем подстановку: t=tg x; dt = sec 2 xdx . Получим:
                                                      r (tg x )
         ò R(sin x,cos x)dx = ò r (tg x)dx = ò 1 + tg       2
                                                                sec 2 xdx = ò r1 (t )dt
                                                              x

      Пример:
                                  dx
            ò sin   2                            2
                                                    = t = tg x ; dt = sec 2 xdx
                        x + 6 sin x × cos x + cos x
     Подынтегральная функция четна относительно sin x и cos x; раз-
делим и умножим на cos2 х:
             sec 2 xdx              dt                dt          1 ½tg x - 2½
      ò tg 2 x + 6tg x -16 = ò t 2 + 6t -16 = ò (t + 3) 2 - 25 = 10 ln½½tg x + 8½½+ c
        Правило 5: Интеграл от целых степеней tg x и ctg x и от sec x и
cosec x удоб но брать, ис поль зуя со от но ше ния: tg 2 x = sec 2 x -1;
ctg 2 x = cosec 2 x -1.
      Примеры:
          4          2     2              2      2
      ò tg xdx = ò tg x(sec x -1)dx = ò tg x ×sec xdx -
      -ò tg 2 xdx = ò tg 2 x × sec 2 xdx - ò sec 2 xdx + ò dx = ò tg 2 xd(tg x ) -
                           1
      -ò sec 2 xdx + ò dx = tg 3 x - tg x + x + c.
                           3
30

Страницы