Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Фор маль но за ме на пе ре мен ной сво дит ся к за ме не дифферен -
циала:
dx d t t dt= = ¢j j( ) ( )
По сле на хо ж де ния ин те гра ла по t, на до за ме нить ре зуль тат на его
зна че ние че рез x.
При ме ры:
а)
x
x
dx
3
2
1( )-
=
ò
: обо зна чим
x t= +1
;
dx dt=
=
+
=
+ + +
= + + + =
òòò
( )
( )
t
t
dt
t t t
t
dt t
t
t
dt
1
3 3 1
3
3 1
3
2
3 2
2 2
= + + - + = - + - + - -
-
+
1
2
3 3
1 1
2
1 3 1 3 1
1
1
2 2
t t t
t
c x x x
x
cln ( ) ( ) ln
б) ме тод ин тег ри ро ва ния по час тям:
Пусть:
u x= j( )
;
n y= ( )x
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j y j y j yx x x x x x
¢
=
¢
+
¢
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j y j y j yx x dx x x dx x x dx¢ = ¢ + ¢
òòò
,
т.е.
j y j y j y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x dx= +
ò ò
,
т.е.
j y j y y j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x dx x x x x dx¢ = - ¢
ò ò
,
или
udv uv vdu= -
òò
— это фор му ла ин тег ри ро ва ния по час тям.
При ме ры:
а)
xe dx
x u e dx dv
dx du e v
xe e dx
x
x
x
x x
=
= =
= =
½
½
½
½
½
½
= - =
ò ò
;
;
xe e c
x x
- +
б)
x xdx
x u xdx dv
xdx du x v
x
2
2
2
2
sin
; sin
; cos
co=
= =
= - =
½
½
½
½
½
½
= - s cosx x dx+ =
òò
2
=
= =
= =
½
½
½
½
½
½
= × - -
x u xdx dv
dx du x v
x x x x
;cos
; sin
sin cos s2 2
2
in xdx
ò
=
= - + + +x x x x x c
2
2 2cos sin cos
Класс функ ций ти па
P x e P x ax P x ax
ax
( ) ; ( )sin ; ( )cos
бе рут ся по час -
тям, пу тем мно го крат ных под ста но вок.
24
     Формально замена переменной сводится к замене дифферен-
циала:
     dx = dj(t ) = j¢ (t )dt
     После нахождения интеграла по t, надо заменить результат на его
значение через x.

       Примеры:
                x3
       а) ò           dx = : обозначим x = t +1; dx = dt
            ( x -1) 2
           (t +1) 3        t 3 + 3t 2 + 3t +1                3 1
       =ò       2
                    dt = ò           2
                                              dt = ò (t + 3 + + 2 )dt =
              t                    t                         t t
         1 2                   1        1        2                       1
       = t + 3t + 3 ln t - + c = ( x -1) + 3( x -1) + 3 ln x -1 -            +c
         2                     t       2                                x -1
       б) метод интегрирования по частям:
       Пусть: u = j( x ); n = y ( x )
                         [j( x )y ( x )]¢ = j¢( x )y ( x ) + j( x )y ¢( x )

                  ò[j( x)y( x)]¢dx = ò j¢( x)y( x)dx + ò j( x)y¢( x)dx,
                    т.е. j( x )y ( x ) = ò j( x )y ( x )dx + ò j( x )y ( x )dx ,

                   т.е. ò j( x )y ¢ ( x )dx = j( x )y ( x ) - ò y ( x )j¢ ( x )dx ,

или ò udv = uv - ò vdu — это формула интегрирования по частям.

       Примеры:
                       ½x = u; e x dx = dv½
       а) ò xe x dx =½               x
                                           ½= xe x - ò e x dx =xe x - e x + c
                       ½dx = du  ; e   = v ½
                               2
                           ½x = u; sin xdx = dv ½
       б) ò x 2 sin xdx =½                             ½ = - x 2 cos x + 2 ò x cos dx =
                           ½2 xdx = du; - cos x = v½
        ½ x =  u; cos  xdx = dv½
       =½                        ½ = 2 x sin× x - x 2 cos x - 2 sin xdx =
        ½dx  =  du ; sin x = v   ½
                                                                ò
       = - x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + c
      Класс функций типа P ( x )e ax ; P ( x )sin ax ; P ( x )cos ax берутся по час-
тям, путем многократных подстановок.
24

Страницы