Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M
1
0 0( , )
;
M
2
0 1( , )
;
M
3
10( , )
;
M
4
1 3 1 3( , )
¢¢
= -f y
xx
2
;
¢¢
= - -f x y
xy
1 2 2
;
¢¢
= -f x
yy
2
;
D x y xy x y( , ) ( )= - - -4 1 2 2
2
D( , )0 0 0<
;
D( , )0 1 0<
;
D( , )1 0 0<
— экс тре му ма нет.
D( , )1 3 1 3 1 9=
— экс тре мум.
Так как
¢¢
>f
xx
( , )1 9 1 9 0
, то М
4
— это мак си мум.
z f
max
( , ) ( )= = - - =1 3 1 3 1 9 1 1 3 1 3 1 27
.
2) Ус лов ный экс тре мум
Пусть да на функ ция
u f x y z= ( , , )
и на ее пе ре мен ные на ло же ны до -
пол ни тель ные условия:
F x y z
1
0( , , ) =
;
F x y z
2
0( , , ) =
Эта фор му ла на зы ва ет ся урав не ни ем свя зи. Го во рят, что для та кой
функ ции мо жет су ще ст во вать ус лов ный экс тре мум.
а) Не об хо ди мое ус ло вие ус лов но го экс тре му ма.
Пред по ло жим, что все функ ции f, F
1
, F
2
име ют не пре рыв ные про -
из вод ные пер во го по ряд ка и хо тя бы один оп ре де ли тель ти па
=
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
( )
( , )
F F
y z
F
y
F
z
F
y
F
z
1
2
1 1
2 2
в точ ке M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) от ли чен от ну ля. То гда ус лов ный
экс тре мум на хо дит ся по сле дую щим пра ви лам (ме тод Ла гран жа):
а) со став ля ем вспо мо га тель ную функ цию:
j l l= + +f F F
1 1
2 2
—
функ ция Ла гран жа;
б) за пи сы ва ем не об хо ди мые ус ло вия экс тре му ма этой функции:
=
=
=
=
=
j j j j
l
j
lx y z
1
2
0
в) ре ша ем по лу чен ную сис те му урав не ний, на хо дим кри ти че ские
точ ки экс тре му ма для функ ции
j
.
г) ес ли
( , , , , )x y z
0 0 0
1
2
l l
— най ден ная кри ти че ская точ ка, то в точ -
ке
( , , )x y z
0 0 0
функ ция
u f x y z= ( , , )
мо жет быть име ет ус лов ный
экстремум.
Ис сле до ва ние дос та точ ных ус ло вий вы хо дит за рам ки курса.
При мер: най ти пря мо уголь ный па рал ле ле пи пед наи боль ше го
объ е ма, ес ли его пол ная по верх ность име ет пло щадь 2а. Объ ем
V xyz=
.
19
      M 1 (0 , 0); M 2 (0 , 1); M 3 (10   , ); M 4 (1 3 , 1 3)
      f xx¢¢ = -2 y ; f xy¢¢ = 1 - 2 x - 2 y ; f yy¢¢ = -2 x ;
      D( x , y ) = 4 xy - (1 - 2 x - 2 y ) 2
      D(0 , 0) < 0; D(0 , 1) < 0; D(1 , 0) < 0 — экстремума нет.
      D(1 3 , 1 3) = 1 9 — экстремум.
      Так как f xx¢¢ (1 9 , 1 9) > 0, то М4 — это максимум.
      zmax = f (1 3 , 1 3) = 1 9(1 -1 3 -1 3) = 1 27.
      2) Условный экстремум
     Пусть дана функция u = f ( x , y , z) и на ее переменные наложены до-
полнительные условия:
     F1 ( x , y , z) = 0; F 2 ( x , y , z) = 0
     Эта формула называется уравнением связи. Говорят, что для такой
функции может существовать условный экстремум.
        а) Необходимое условие условного экстремума.
        Предположим, что все функции f, F1, F2 имеют непрерывные про-
изводные первого порядка и хотя бы один определитель типа
            ½¶F1 ¶F1 ½
¶(F1 F 2 ) ½ ¶y   ¶z ½в точке M (x ,y ,z ) отличен от нуля. Тогда условный
          =½
 ¶(y , z) ½ 2¶ F ¶ F 2½
                      ½
                               0 0 0 0


            ½ ¶y  ¶z ½
экстремум находится по следующим правилам (метод Лагранжа):
        а) составляем вспомогательную функцию: j = f + l 1 F1 + l 2 F 2 —
функция Лагранжа;
        б) записываем необходимые условия экстремума этой функции:
                          ¶j ¶j ¶j ¶j    ¶j
                            =  =  =    =     =0
                          ¶x ¶y ¶z ¶l 1 ¶l 2

       в) решаем полученную систему уравнений, находим критические
точки экстремума для функции j.
       г) если ( x 0 , y 0 , z0 ,l 1 ,l 2 ) — найденная критическая точка, то в точ-
ке ( x 0 , y 0 , z0 ) функция u = f ( x , y , z) может быть име ет условный
экстремум.
       Исследование достаточных условий выходит за рамки курса.
     Пример: найти прямоугольный параллелепипед наибольшего
объема, если его полная поверхность имеет площадь 2а. Объем V = xyz.

                                                                                 19

Страницы