Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

= =
=
=
2
2
2 2 2
2 2
6 3
f
x y
x yz
f
x y
f
y x
f
z x
x y;
и т.д.
10) Диф фе рен циа лы выс ших по ряд ков.
Диф фе рен ци ал пер во го по ряд ка:
dz f x y dx f x y dy
x y
=
¢
+
¢
( , ) ( , )
.
Диф фе рен ци ал вто ро го по ряд ка:
[ ]
d z d dz d f x y dx f x y dy
f dx f
x y
xx x
2
2
2
= =
¢
+
¢
=
=
¢¢
+
¢¢
( ) ( , ) ( , )
( )
y yy
dxdy f dy+
¢¢
( ) .
2
Диф фе рен ци ал третье го по ряд ка:
[ ]
d z d d z d f dx f dxd y f dy
f
xx xy yy
3 2 2 2
2= =
¢¢
+
¢¢
+
¢¢
=
=
¢¢¢
( ) ( ) ( )
xxx xxy xyy yyy
dx f dx dy f dx dy f dy( ) ( ) ( ) (
3 2
3 3+
¢ ¢¢
+
¢ ¢¢
+
¢¢¢
) .
3
Вве дем сим во ли че скую за пись:
d z
x
dx
y
dy f x y
n
n
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
( , )
, то гда
dz
x
dx
y
dy f x y
d z
x
dx
y
dy
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
( , )
2
÷
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
2
3
3
f x y
d z
x
dx
y
dy f x y
( , )
( , ).
2.2.3 Экс тре мум функ ции двух пе ре мен ных
1) Пусть
z f x y= ( , )
— функ ция двух пе ре мен ных. Точ ка
( , )x y
0 0
на -
зы ва ет ся точ кой мак си му ма, ес ли для лю бой дру гой точ ки
( , )x y
вы пол -
ня ет ся не ра вен ст во
f x y f x y( , ) ( , )<
0 0
. Ана ло гич но, точ ка
( , )x y
0 0
на зы ва -
ет ся точ кой ми ни му ма, ес ли
f x y f x y( , ) ( , )>
0 0
.Точ ки ми ни му ма и мак си -
му ма функ ции на зы ва ет ся ее точ ка ми экс тре му ма.
17
       ¶2 f                ¶2 f    ¶2 f    ¶2 f
              = 6 x 2 yz =       ;       =        = 3 x 2 y 2 и т.д.
       ¶ x¶ y              ¶ x¶ y ¶ y ¶ x ¶ z ¶ x
       10) Дифференциалы высших порядков.
       Дифференциал первого порядка:

                                dz = f x¢( x , y )dx + f y¢ ( x , y )dy .

       Дифференциал второго порядка:

                      d 2 z = d(dz) = d[ f x¢( x , y )dx + f y¢ ( x , y )dy ] =
                             = f xx¢¢ (dx ) 2 + 2 f x¢¢y dxdy + f yy¢¢ (dy ) 2 .

       Дифференциал третьего порядка:

                                    [
             d 3 z = d(d 2 z) = d f xx¢¢ (dx ) 2 + 2 f xy¢¢ dxdy + f yy¢¢ (dy ) 2 =]
                        ¢¢¢ (dx ) 3 + 3 f xxy
                   = f xxx                 ¢¢¢ (dx ) 2 dy + 3 f xyy               ¢¢¢ (dy ) 3 .
                                                                 ¢¢¢ dx (dy ) + f yyy

                                                                                          n
                                           æ ¶   ¶    ö     n
       Введем символическую запись: d z = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y ), тогда
                                           è ¶x  ¶y ø

                                      æ ¶    ¶   ö
                                dz = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y )
                                      è ¶ x ¶ y  ø
                                                                 2
                                       æ ¶    ¶   ö
                              d 2 z = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y )
                                       è ¶x  ¶y ø
                                                                 3
                                       æ ¶    ¶   ö
                              d 3 z = çç dx + dy ÷÷ f ( x , y ).
                                       è ¶x  ¶y ø


       2.2.3 Экстремум функции двух переменных

      1) Пусть z = f ( x , y ) — функция двух переменных. Точка ( x 0 , y 0 ) на-
зывается точкой максимума, если для любой другой точки ( x , y ) выпол-
няется неравенство f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ). Аналогично, точка ( x 0 , y 0 ) называ-
ется точкой минимума, если f ( x , y ) > f ( x 0 , y 0 ).Точки минимума и макси-
мума функции называется ее точками экстремума.
                                                                                                  17

Страницы