ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Точ ки, в ко то рых
¢
=
¢
=F x y F x y
x y
( , ) ( , )
0 0 0 0
0
на зы ва ет ся осо бы ми
точ ка ми кри вой. В этих точ ках кри вая мо жет не иметь касательной.
При мер 1:
F x y( , )
:
( ) ( )
x y a x y
2 2
2
2 2 2
2+ = -
— лем ни ска та Бер -
нул ли.
¢
= +
¢
= +
ü
ý
ï
þ
ï
F x y x y a y
F x y x y a y
x
y
( , ) ( )
( , ) ( )
2 4
2 4
2 2 2 2
2 2 2 2
— в точ ке (0,0) рав ны ну лю.
То есть в точ ке (0,0) нет ка са тель ной — осо бая точ ка.
При мер 2: най ти урав не ние ка са тель ной и нор ма ли к эл лип су:
x
y
2
2
4 9
1+ =
в точ ке
M
0
3
3
2
;-
æ
è
ç
ö
ø
÷
F x y
x
y
( , ) = + -
2
2
4 9
1
;
¢
=F
x
x
2
;
¢
=F
y
y
2
9
;
¢
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
¹F
y
3
3
2
0
Урав не ние ка са тель ной:
( )
3
2
3
1
3
3
2
0x y- - +
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
.
Урав не ние нор ма ли :
( )
x
y
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
3
2
3
2
1
3
.
8) Ка са тель ная плос кость и нор маль по верх но сти.
Урав не ние по верх но сти
F x y z( , , ) = 0
, возь мем точ ку (х
0
,у
0
,z
0
).
Урав не ние ка са тель ной плос ко сти
z z
z
x
x x
z
y
y y- =
¶
¶
- +
¶
¶
½
½
½
½
½
½
-
0 0 0
( ) ( )
Под став ля ем:
¶
¶
= -
¢
¢
z
x
F x y z
F x y z
x
z
( , , )
( , , )
0 0 0
0 0 0
;
¶
¶
= -
¢
¢
z
y
F x y z
F x y z
y
z
( , , )
( , , )
0 0 0
0 0 0
.
Урав не ние ка са тель ной плос ко сти
¢
- +
¢
- +
¢
F x y z x x F x y z y y F x y
x y z
( , , )( ) ( , , )( ) ( , ,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
z z z
0 0
0)( )- =
.
Урав не ние нор ма ли:
( )
( , , )
( )
( , , )
( )
(
x x
F x y z
y y
F x y z
z z
F
x y z
-
¢
=
-
¢
=
-
¢
0
0 0 0
0
0 0 0
0
x y z
0 0 0
, , )
14
Точки, в которых F x¢( x 0 , y 0 ) = F y¢ ( x 0 , y 0 ) = 0 называется особыми
точками кривой. В этих точках кривая может не иметь касательной.
2
Пример 1: F ( x , y ): (x 2
+y2 ) (
= 2a 2 x 2 - y 2 ) — лемниската Бер-
нулли.
F x¢( x , y ) = 2( x 2 + y 2 ) 2 4a 2 y üï
ý — в точке (0,0) равны нулю.
F y¢ ( x , y ) = 2( x 2 + y 2 ) 2 4a 2 y ïþ
То есть в точке (0,0) нет касательной — особая точка.
Пример 2: найти уравнение касательной и нормали к эллипсу:
x2 y2 æ 3ö
+ = 1 в точке M 0 ç 3;- ÷
4 9 è 2ø
2 2
x y x 2y æ 3ö
F ( x,y) = + -1; F x¢ = ; F y¢ = ; F y¢ ç 3 - ÷ ¹ 0
4 9 2 9 è 2 ø
3 1æ 3ö
Уравнение касательной:
2
( )
x - 3 - ç y + ÷ = 0.
3è 2ø
3
Уравнение нормали :
( x- 3
=
)
y+
2 .
æ 3ö æ 1ö
ç ÷ ç- ÷
ç 2÷
è ø è 3ø
8) Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Уравнение поверхности F ( x , y , z) = 0, возьмем точку (х0,у0,z0).
¶z½ ¶z½
Уравнение касательной плоскости z - z0 = ½( x - x 0 ) + ½(y - y 0 )
¶x½ ¶y½
¶z F ¢ ( x , y , z ) ¶z F y¢ ( x 0 , y 0 , z0 )
Подставляем: =- x 0 0 0 ; =- .
¶x F z¢( x 0 , y 0 , z0 ) ¶y F z¢( x 0 , y 0 , z0 )
Уравнение касательной плоскости
F x¢( x 0 , y 0 , z0 )( x - x 0 ) + F y¢ ( x 0 , y 0 , z0 )(y - y 0 ) + F z¢( x 0 , y 0 , z0 )( z - z0 ) = 0.
Уравнение нормали:
(x - x 0 ) (y - y 0 ) ( z - z0 )
= =
F x¢( x 0 , y 0 , z0 ) F y¢ ( x 0 , y 0 , z0 ) F z¢( x 0 , y 0 , z0 )
14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
