Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Обо зна ча ет ся:
f
n
;
z
n
.
=
®
z
n
z
MM
MM
lim
1
0
1
D
— сред няя ско рость из ме не ния функ ции z на уча -
ст ке ММ
1
.
Обо зна чим че рез i и j — еди нич ные век то ры (про ек ции). Ес ли
n i
® ®
=
, то
=
z
n
z
x
. Ес ли
n j
® ®
=
, то
=
f
n
z
y
.
Обо зна чим:
MM
1
= r
. То гда
Dx = r acos
.;
Dy = r bcos
.
D D D D Dz f x x y y f x y f x y x f x y y
x y
= + + - =
¢
+
¢
+( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ar
,
Dz f x y f x y
x y
=
¢
+
¢
+( , ) cos ( , ) cosr a r b ar
.
Раз де лим на
r
и пе рей дем к пре де лу при
r ® 0
учи ты вая, что
r = + =( ) ( )D Dx y MM
2 2
1
, по лу чим:
=
¢
+
¢
z
n
f f
x y
cos cosa b
, или
=
+
z
n
z
x
z
y
cos cosa b
Это и есть про из вод ная по на прав ле нию.
6) Не яв ные функ ции
а) Для функ ции од ной пе ре мен ной:
Оп ре де ле ние 13: ес ли ка ж до му зна че нию х по ста вить в со от вет ст -
вие те зна че ния у, для ко то рых
F x y( , ) = 0
, то мы по лу чим функ цию y, за -
дан ную не яв но урав не ни ем
F x y( , ) = 0
.
Про из вод ная не яв ной функ ции:
dF x y
dx
( , )
= 0
, где
y f x= ( )
или
¢
+
¢ ¢
=F x y F x y y
x y
( , ) ( , ) 0
, от ку да
¢
= -
¢
¢
y
F x y
F x y
x
y
( , )
( , )
Та ким об ра зом мы мо жем най ти про из вод ную не яв ной функ ции,
не имея не по сред ст вен но го за да ния самой функции.
При мер:
x y e
xy
4 5
0+ + =
— это урав не ние удов ле тво ря ет ся при
x
0
0=
,
y
0
1= -
.
F x y x y e
xy
( , ) = + +
4 5
;
¢
= +F x ye
x
xy
4
3
,
¢
= +F y xe
y
xy
5
4
.
12
                           ¶f ¶z
       Обозначается:         ; .
                           ¶n ¶n
        ¶z                 Dz
           = lim               — средняя скорость изменения функции z на уча-
        ¶n MM 1 ®0 MM 1
стке ММ1.
        Обозначим через i и j — единичные векторы (проекции). Если
®   ®      ¶z ¶z               ®   ®           ¶f ¶z
n = i , то    = . Если n = j , то                 = .
           ¶n ¶x                              ¶n ¶y
        Обозначим: MM 1 = r. Тогда Dx = rcos a .; Dy = rcos b.
        Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) = f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy + ar,
        Dz = f x¢( x , y )rcos a + f y¢ ( x , y )rcos b + ar.
        Разделим на r и перейдем к пределу при r ® 0 учитывая, что
                                                    ¶z
r = (Dx ) 2 + (Dy ) 2 = MM 1 , получим:                 = f x¢ cos a + f y¢ cos b, или
                                                    ¶n
                                ¶z ¶z      ¶z
                                  = cos a + cos b
                                ¶n ¶x      ¶y

       Это и есть производная по направлению.
      6) Неявные функции
      а) Для функции одной переменной:
      Определение 13: если каждому значению х поставить в соответст-
вие те значения у, для которых F ( x , y ) = 0, то мы получим функцию y, за-
данную неявно уравнением F ( x , y ) = 0.
      Производная неявной функции:
      dF ( x , y )
                   = 0, где y = f ( x ) или F x¢( x , y ) + F y¢ ( x , y )y ¢ = 0, откуда
         dx
                                               F x¢( x , y )
                                      y¢ = -
                                               F y¢ ( x , y )

        Таким образом мы можем найти производную неявной функции,
не имея непосредственного задания самой функции.
        Пример: x 4 + y 5 + e xy = 0 — это уравнение удовлетворяется при
x 0 = 0, y 0 = -1. F ( x , y ) = x 4 + y 5 + e xy ;

                          F x¢ = 4 x 3 + ye xy , F y¢ = 5y 4 + xe xy .

12

Страницы