Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер :
z x
x
y
= ×
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
sin ;
x t= +1 3
;
y t= +1
2
;
dz
dt
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
t
t
= +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
× - ×
+
sin cos cos3
1
2
2
2
.
В ча ст но сти ес ли
z f x y= ( , )
, где
y x= j( )
,
dz
dx
z
x
z
y
dy
dx
=
+
×
.
При мер :
z x y e
xy
= +
2 5
;
y
x
=
+
1
1
2
( )
, то гда
dz
dx
xy ye x y xe
x
x
xy xy
= + + +
-
+
2 5
2
1
5 2 4
2 2
( )
( )
.
В слу чае функ ции трех пе ре мен ных
u f x y z= ( , , )
;
x x t= ( )
;
y y t= ( )
;
z z t= ( )
:
du
dt
u
x
dx
dt
u
y
dy
dt
u
z
dz
dt
=
+
+
.
Бо лее об щий слу чай
u f x y z= ( , , )
;
x x t= ( )
;
y y t= ( )
:
=
+
z
u
z
x
x
u
z
y
y
u
;
=
+
z
y
z
x
x
y
z
y
y
y
.
4) Диф фе рен ци ал функ ции двух пе ре мен ных.
Ес ли
z f x y= ( , )
; то
dz
z
x
dx
z
y
dy=
+
для х и у, как не за ви си мых пе -
ре мен ных.
Пусть
x x u v= ( , )
,
y y u v= ( , )
— диф фе рен ци руе мы в точ ке (u,v),
а f(x,y) диф фе рен ци руе ма в точ ке (x,y) тогда :
dz
z
u
du
z
v
dv
z
x
x
u
z
y
y
u
du
z
x
=
+
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
x
v
z
y
y
v
dv
z
x
x
u
du
x
v
dv
z
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
y
y
u
du
y
v
dv
,
т.е.
dz
z
x
dx
z
y
dy=
+
и для х и у — как за ви си мых пе ре мен ных.
10
                            æxö
       Пример : z = x × sinçç ÷÷; x = 1 + 3t ; y = 1 + t 2 ;
                            èyø
                      dz æ      x x    x          ö       x2    x  t
                        = çç sin + cos            ÷÷ × 3 - 2 cos ×      .
                      dt è      y y    y           ø      y     y 1+t 2

                                                                  dz ¶z ¶z dy
       В частности если z = f ( x , y ), где y = j( x ),            =  + × .
                                                                  dx ¶x ¶y dx
                                                   1
       Пример : z = x 2 y 5 + e xy ; y =                 , тогда
                                               (1 + x 2 )
                       dz                                            -2 x
                          = 2 xy 5 + ye xy + (5 x 2 y 4 + xe xy )              .
                       dx                                         (1 + x 2 ) 2

        В случае функции трех переменных u = f ( x , y , z); x = x (t ); y = y (t );
z = z(t ):
                                 du ¶u dx ¶u dy ¶u dz
                                   =     +     +      .
                                 dt ¶x dt ¶y dt ¶z dt

       Более общий случай u = f ( x , y , z); x = x (t ); y = y (t ):
                        ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y
                          =     +     ;  =     +      .
                        ¶u ¶x ¶u ¶y ¶u ¶y ¶x ¶y ¶y ¶y

       4) Дифференциал функции двух переменных.
                                    ¶z   ¶z
       Если z = f ( x , y ); то dz = dx + dy для х и у, как независимых пе-
                                    ¶x   ¶y
ременных.
       Пусть x = x (u, v), y = y (u, v) — дифференцируемы в точке (u,v),
а f(x,y) дифференцируема в точке (x,y) тогда :
                   ¶z     ¶z     æ ¶z ¶x ¶z ¶y ö       æ ¶z ¶x ¶z ¶y               ö
            dz =      du + dv = çç      +      ÷÷du + çç      +                    ÷÷dv =
                   ¶u     ¶v     è ¶x ¶u ¶y ¶u ø       è ¶x ¶v ¶y ¶v                ø    ,
                   ¶z æ ¶x  ¶x ö ¶z æ ¶y  ¶y ö
              =       ç du + dv ÷ + ç du + dv ÷
                   ¶x è ¶u  ¶v ø ¶y è ¶u  ¶v ø
            ¶z     ¶z
т.е. dz =      dx + dy и для х и у — как зависимых переменных.
            ¶x     ¶y

10

Страницы