Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) Пол ное при ра ще ние.
Да дим точ ке N(x,y) при ра ще ние и по x и по y. Вы ра же ние
D D Dz f x x y y f x y= + + -( , ) ( , )
на зы ва ет ся пол ным при ра ще ни ем функ -
ции. Ес ли функ ция
z f x y= ( , )
не пре рыв на в точ ке
( , )x y
, то
lim ( , ) ( , )f x x y y f x y+ + =D D
. Об рат но, ес ли
lim Dz = 0
, то функ ция
f x y( , )
не пре рыв на в точ ка (x, y).
Оп ре де ле ние 10: функ ция
z f x y= ( , )
на зы ва ет ся диф фе рен ци руе мой
в точ ке (x, y), ес ли ее пол ное прира ще ние в этой точ ке мож но пред ста -
вить в ви де:
D D D D Dz A x y x B x y y x y= + + +( , ) ( , ) a a
1
2
, где a
1
и a
2
— бес ко неч но
ма лые при
Dx ® 0
и
Dy ® 0
, или бо лее сжа то:
D D Dz A x y x B x y y= + +( , ) ( , ) ar
,
где
r = +( ) ( )D Dx y
0
2
0
2
,
a a a r= +( )
1
2
D Dx y
,
a ® 0
,
r ® 0
.
Вы ра же ние
A x y x B x y y( , ) ( , )D D+
, ли ней ное от но си тель но
Dx
и
Dy
,
на зы ва ет ся глав ной ча стью при ра ще ния , так как
a a ar
1
2
D Dx y+ =
есть
бес ко неч но ма лая бо лее высокого порядка.
Тео ре ма 1: Ес ли функ ция
z f x y= ( , )
диф фе рен ци руе ма в точ ке
( , )x y
, то она не пре рыв на в этой точ ке.
Тео ре ма 2: Ес ли функ ция
z f x y= ( , )
диф фе рен ци руе ма в точ ке
( , )x y
, то она име ет в этой точ ке ча ст ные про из вод ные
¢
f
x
и
¢
f
y
.
Тео ре ма 3: Ес ли в не ко то рой ок ре ст но сти точ ки
( , )x y
су ще ст ву ют
ча ст ные про из вод ные
¢
f
x
и
¢
f
y
функ ции
z f x y= ( , )
и эти про из вод ные не -
пре рыв ны в точ ке
( , )x y
, то функ ция диф фе рен ци руе ма в этой точ ке.
Оп ре де ле ние 11: Глав ная часть при ра ще ния диф фе рен ци руе мой
функ ции
z f x y= ( , )
в точ ке
f x y( , )
на зы ва ет ся ее пол ным диф фе рен циа лом
в этой точ ке:
dz f x y x f x y y
x y
=
¢
+
¢
( , ) ( , )D D
.
При мер:
z x y=
2
;
dz xy x x y= +2
2
D D
.
По оп ре де ле нию раз ность ме ж ду пол ным при ра ще ни ем и пол ным
диф фе рен циа лом есть бес ко неч но ма лая бо лее вы со ко го по ряд ка чем
Dx
и
Dy
:
D D Dz dz x y- = +a a
1
2
.
По это му в при бли жен ных вы ра же ни ях мож но за ме нить при ра ще -
ние функ ции
z f x y= ( , )
, ко то рое мо жет слож но за ви сеть от
Dx
и
Dy
, ее
диф фе рен циа лом, за ви ся щим от
Dx
и
Dy
ли ней но.
8
        2) Полное приращение.
        Дадим точке N(x,y) приращение и по x и по y. Выражение
Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) на зы вает ся пол ным при ра ще нием функ-
ции. Ес ли функ ция z = f ( x , y ) не пре рывна в точ ке ( x , y ), то
lim f ( x + Dx , y + Dy ) = f ( x , y ). Обратно, если lim Dz = 0, то функция f ( x , y )
непрерывна в точка (x, y).
        Определение 10: функция z = f ( x , y ) называется дифференцируемой
в точке (x, y), если ее полное приращение в этой точке можно предста-
вить в виде:
        Dz = A( x , y )Dx + B( x , y )Dy + a 1 Dx + a 2 Dy , где a1 и a2 — бесконечно
малые при Dx ® 0 и Dy ® 0, или более сжато:

                          Dz = A( x , y )Dx + B( x , y )Dy + ar,

       где r = (Dx 0 ) 2 + (Dy 0 ) 2 , a = (a 1 Dx + a 2 Dy ) r, a ® 0, r ® 0.
           Выражение A( x , y )Dx + B( x , y )Dy , линейное относительно Dx и Dy,
называется главной частью приращения , так как a 1 Dx + a 2 Dy = ar есть
бесконечно малая более высокого порядка.
           Теорема 1: Если функция z = f ( x , y ) дифференцируема в точке
( x,y)   , то она непрерывна в этой точке.
           Теорема 2: Если функция z = f ( x , y ) дифференцируема в точке
( x , y ), то она имеет в этой точке частные производные f x¢ и f y¢ .
           Теорема 3: Если в некоторой окрестности точки ( x , y ) существуют
частные производные f x¢ и f y¢ функции z = f ( x , y ) и эти производные не-
прерывны в точке ( x , y ), то функция дифференцируема в этой точке.
           Определение 11: Главная часть приращения дифференцируемой
функции z = f ( x , y ) в точке f ( x , y ) называется ее полным дифференциалом
в этой точке:

                            dz = f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy .

      Пример: z = x 2 y ; dz = 2 xyDx + x 2 Dy .
      По определению разность между полным приращением и полным
дифференциалом есть бесконечно малая более высокого порядка чем
Dx и Dy: Dz - dz = a 1 Dx + a 2 Dy .
      Поэтому в приближенных выражениях можно заменить прираще-
ние функции z = f ( x , y ), которое может сложно зависеть от Dx и Dy, ее
дифференциалом, зависящим от Dx и Dy линейно.

8

Страницы