Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

в) мно же ст во то чек при над ле жа щих двум кру гам —
не связ но.
Оп ре де ле ние 8:
а) точ ка М на зы ва ет ся внут рен ней точ кой не ко то ро го мно же ст ва,
ес ли су ще ст ву ет ок ре ст ность этой точ ки, со стоя щая из то чек дан но го
мно же ст ва;
б) мно же ст во, ка ж дая точ ка ко то ро го внут рен няя, на зы ва ет ся от -
кры тым мно же ст вом.
Мно же ст во то чек пря мо уголь ни ка
- £ £1 1x
,
- £ £2 2x
от кры тым
не будет.
в) связ ное мно же ст во то чек плос ко сти на зы ва ют об ла стью
г) точ ка М на зы ва ет ся гра нич ной точ кой об лас ти, ес ли в лю бой ее
ок ре ст но сти есть точ ки как при над ле жа щие, так и не при над ле жа щие
этой об лас ти.
д) со во куп ность всех гра нич ных то чек плос ко сти на зы ва ют ее гра -
ни цей.
е) об ласть с при сое ди нен ной к ней гра ни цей на зы ва ют замк ну той
об ла стью (круг, пря мо уголь ник, коль цо).
Оп ре де ле ние 9 (не пре рыв но сти функ ции):
а) функ ция
f x y( , )
не пре рыв на в об лас ти D, ес ли она не пре рыв на в
ка ж дой ее точке;
б) функ ция
f x y( , )
не пре рыв на в гра нич ной точ ке М
0
(х
0
,у
0
) ес ли для
лю бо го по ло жи тель но го чис ла e су ще ст ву ет чис ло
d > 0
, та кое, что
для всех то чек М(x,y) об лас ти D, удов ле тво ряю щих ус ло вию:
( ) ( )x x y y- + - <
0
2
0
2
d
вы пол ни мо не ра вен ст во
f x y f x y( , ) ( , )- <
0 0
e
.
Свой ст ва не пре рыв ной функ ции:
а) функ ция
f x y( , )
не пре рыв ная в замк ну той ог ра ни чен ной об лас -
ти, ог ра ни че на в этой об лас ти, т. е.
f x y k( , ) <
;
б) функ ция
f x y( , )
не пре рыв ная в замк ну той ог ра ни чен ной об лас -
ти, при ни ма ет в этой об лас ти свое наи мень шее и наи боль шее значения ;
в) функ ция
f x y( , )
не пре рыв ная в замк ну той ог ра ни чен ной об лас -
ти ме ж ду лю бы ми дву мя свои ми зна че ния ми при ни ма ет все
промежуточные;
г) ес ли функ ция
f x y( , )
не пре рыв на в замк ну той ог ра ни чен ной об -
лас ти, то она рав но мер но не пре рыв на в этой об лас ти, т. е. для лю бо го по -
ло жи тель но го чис ла e су ще ст ву ет та кое чис ло d, что для лю бых двух то -
чек
( , )x y
1 1
и
( , )x y
2 2
об лас ти, на хо дя щих ся на рас стоя нии мень шем d,
вы пол ня ет ся не ра вен ст во
f x y f x y( , ) ( , )
1 1
2 2
- < e
.
6
                      в) множество точек принадлежащих двум кругам —
                      не связно.
      Определение 8:
      а) точка М называется внутренней точкой некоторого множества,
если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного
множества;
      б) множество, каждая точка которого внутренняя, называется от-
крытым множеством.
      Множество точек прямоугольника -1 £ x £ 1, -2 £ x £ 2 открытым
не будет.
      в) связное множество точек плоскости называют областью
      г) точка М называется граничной точкой области, если в любой ее
окрестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие
этой области.
      д) совокупность всех граничных точек плоскости называют ее гра-
ницей.
      е) область с присоединенной к ней границей называют замкнутой
областью (круг, прямоугольник, кольцо).
      Определение 9 (непрерывности функции):
      а) функция f ( x , y ) непрерывна в области D, если она непрерывна в
каждой ее точке;
      б) функция f ( x , y ) непрерывна в граничной точке М0(х0,у0) если для
любого положительного числа e существует число d > 0, такое, что
для всех точек М(x,y) об ласти D, удовле творяющих условию:
 ( x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 < d выполнимо неравенство f ( x , y ) - f ( x 0 , y 0 ) < e.
       Свойства непрерывной функции:
       а) функция f ( x , y ) непрерывная в замкнутой ограниченной облас-
ти, ограничена в этой области, т. е. f ( x , y ) < k;
       б) функция f ( x , y ) непрерывная в замкнутой ограниченной облас-
ти, принимает в этой области свое наименьшее и наибольшее значения ;
       в) функция f ( x , y ) непрерывная в замкнутой ограниченной облас-
ти ме ж ду лю бы ми дву мя свои ми зна че ния ми при ни ма ет все
промежуточные;
       г) если функция f ( x , y ) непрерывна в замкнутой ограниченной об-
ласти, то она равномерно непрерывна в этой области, т. е. для любого по-
ложительного числа e существует такое число d, что для любых двух то-
чек ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) области, находящихся на расстоянии меньшем d,
выполняется неравенство f ( x 1 , y 1 ) - f ( x 2 , y 2 ) < e.

6

Страницы