Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3 ЛИ НЕЙ НОЕ ВЕК ТОР НОЕ ПРО СТРАН СТ ВО
3.3.1 Опе ра ции над век то ра ми
1) Ска ляр ное по ле
Ска ляр ное по ле — это по ле ска ляр ных ве ли чин (дав ле ние, тем пе -
ра ту ра). Гео мет ри че ски ска ляр ное по ле изо бра жа ет ся с по мо щью по -
верх но стей рав но го уров ня.
При мер: Рас пре де ле ние тем пе ра ту ры на кар те по го ды — это ска -
ляр ное по ле
j( )T = const
(эк ви по тен ци аль ная по верх ность).
Пусть за да но ска ляр ное по ле в ви де по верх но сти рав но го уровня.
j( , , )x y z = const
— урав не ние по верх но сти в про стран ст ве.
j = - - -R x y z
2 2 2 2
— это сфе ра. Возь мем не ко то рое при ра ще -
ние ска ляр но го поля:
Dj j j= -( ) ( ).T T
1
За фик си ру ем на по верх но сти не ко то рый еди нич ный вектор:
r r r
r
l i j k t= + +cos cos cos .a b
От но ше ние
D
D
j
l
на зы ва ет ся сред ней ско ро стью из ме не ния по ля в
на прав ле нии
r
l
.
Эта ско рость есть ска ляр, так как мы бе рем от но ше ние ска ляр ных
ве ли чин. Пре дел это го от но ше ния на зы ва ет ся про из вод ной по ля по на -
прав ле нию
r
l
:
= =
+
+
®
j j j
a
j
b
j
g
r
l
l x y z
l
lim cos cos cos .
D
D
D
0
По стро им нор маль к по верх но сти ска ляр но го по ля
r
n.
То гда про -
из вод ную по ля
j
по на прав ле нию
r
l
мож но пред ста вить как ска ляр ное
произведение:
=
j
r
r
r
l
n l( , )
,
где
r
r r
r
n
x
i
y
j
z
k=
+
+
j j j
.
4
      3.3 ЛИ НЕЙ НОЕ ВЕК ТОР НОЕ ПРО СТРАН СТ ВО

      3.3.1 Операции над векторами

      1) Скалярное поле
      Скалярное поле — это поле скалярных величин (давление, темпе-
ратура). Геометрически скалярное поле изображается с помощью по-
верхностей равного уровня.
      Пример: Распределение температуры на карте погоды — это ска-
лярное поле j(T ) = const (эквипотенциальная поверхность).
      Пусть задано скалярное поле в виде поверхности равного уровня.
      j( x , y , z) = const — уравнение поверхности в пространстве.
      j = R 2 - x 2 - y 2 - z 2 — это сфера. Возьмем некоторое прираще-
ние скалярного поля:
                           Dj = j(T1 ) - j(T ).
      Зафиксируем на поверхности некоторый единичный вектор:
                      r r          r         r
                     l = i cos a + j cos b + k cos t .
                 Dj
     Отношение      называется средней скоростью изменения поля в
              r  Dl
направлении l .
     Эта скорость есть скаляр, так как мы берем отношение скалярных
величин. Пре
          r дел этого отношения называется производной поля по на-
правлению l :
                ¶j          D j ¶j       ¶j      ¶j
                 r = Dlim
                       l ®0 D l
                                = cos a + cos b + cos g.
                ¶l               ¶x      ¶y      ¶z
                                                      r
     Построим нормаль к поверхноr сти скалярного поля n. Тогда про-
изводную поля j по направлению l можно представить как скалярное
произведение:
                            ¶j r r
                             r = (n,l ),
                            ¶l
где
                         r ¶j r ¶j r ¶j r
                         n= i +    j + k.
                           ¶x   ¶y    ¶z

4

Страницы