Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Век тор
r
n
на зы ва ет ся гра ди ен том ска ляр но го по ля
j:
gradj
j j j
=
+
+
x
i
y
j
z
k
r r
r
.
Со от вет ст вен но, про ек ции гра ди ен та на оси ко ор ди нат:
grad grad grad
x y z
x y z
j
j
j
j
j
j
=
=
=
; ; .
Та ким об ра зом, ско рость из ме не ния ска ляр но го по ля
j
по за дан -
но му на прав ле нию рав на ска ляр но му про из ве де нию гра ди ен та это го
по ля на еди нич ный вектор данного направления.
Ñj
есть век тор, на прав лен ный по нор ма ли к по верх но сти рав но го
уров ня в сто ро ну воз рас та ния
j
и чис лен но ра вен ско ро сти из ме не ния
j
по этому направлению.
Свой ст ва гра ди ен та:
а) гра ди ент ал геб раи че ской сум мы ска ляр ных функ ций:
grad grad grad( ) .j j j j
1
2
1
2
+ = +
б) гра ди ент про из ве де ния ска ляр ных функ ций:
grad grad grad( ) .j j j j j j
1
2 2
1 1
2
= +
в) гра ди ент ча ст но го:
grad
grad gradj
j
j j j j
j
1
2
2
1 1
2
2
2
=
+
( )
.
г) гра ди ент слож ной функ ции:
grad gradF
dF
d
( ) .j
j
j=
При мер: Най ти гра ди ент по тен циа ла
j
элек тро ста ти че ско го по ля
то чеч но го за ря да е:
j = =
+ +
e
r
e
x y z
2 2 2
.
Най дем про ек ции гра ди ен та:
= -
= + +
j
x
e
r
r
x
r x y z
2
2 2 2 2
;
.
5
            r
     Вектор n называется градиентом скалярного поля j:
                             ¶j r ¶j r ¶j r
                      gradj = i +    j + k.
                             ¶x   ¶y    ¶z
     Соответственно, проекции градиента на оси координат:
                            ¶j             ¶j           ¶j
               grad x j =      ; grad y j = ; grad z j = .
                            ¶x             ¶y           ¶z
      Таким образом, скорость изменения скалярного поля j по задан-
ному направлению равна скалярному произведению градиента этого
поля на единичный вектор данного направления.
      Ñj есть вектор, направленный по нормали к поверхности равного
уровня в сторону возрастания j и численно равен скорости изменения j
по этому направлению.

     Свойства градиента:
     а) градиент алгебраической суммы скалярных функций:
                     grad(j1 + j 2 ) = gradj1 + gradj 2 .
     б) градиент произведения скалярных функций:
                   grad(j1 j 2 ) = j 2 gradj1 + j1 gradj 2 .
     в) градиент частного:
                            j1        j 2 gradj1 + j1 gradj 2
                     grad         =                             .
                            j2                (j 2 ) 2
     г) градиент сложной функции:
                                             dF
                             gradF (j) =        gradj.
                                             dj

     Пример: Найти градиент потенциала j электростатического поля
                       e      e
точечного заряда е: j = =              .
                       r  x + y 2 + z2
                           2


     Найдем проекции градиента:
                                 ¶j       e ¶r
                                     =- 2       ;
                                 ¶x      r ¶x
                                 r 2 = x 2 + y 2 + z2 .

                                                                    5

Страницы