Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Бе рем про из вод ную:
2 2r r x x =
, от ку да:
=
r
x
x
r
.
Сле до ва тель но
= -
j
x
ex
r
3
.
Ана ло гич но:
= -
= -
j j
y
ey
r
z
ez
r
3 3
; .
Та ким об ра зом:
grad
e
r
ex
r
i
ey
r
j
ez
r
k
e
r
xi yj zk
e
= - - - = - + + = -
3 3 3 3
r r
r
r r
r
&
( )
r
r
3
r
.
Вве дем сим во ли че ский век тор «на бла»
r
Ñ =
ì
í
î
ü
ý
þ
x y z
; ;
на зы вае -
мый опе ра то ром Га миль то на. Та ким об ра зом:
gradj j= Ñ .
2) Век тор ное по ле
За да ние век тор но го по ля — это ко гда ка ж дой точ ке про стран ст ва
по став ле но в со от вет ст вии зна че ние век тор ной ве ли чи ны
r
F .
На при мер,
r
r
F
e
r
r= -
3
— си ла взаи мо дей ст вия за ря дов. По это му век тор ное по ле на -
зы ва ет ся си ло вым. Гра фи че ски век тор ное по ле изо бра жа ет ся в ви де
век тор ных (си ло вых) линий.
Си ло вой (век тор ной) ли ни ей век тор но го по ля на зы ва ет ся кри вая,
в ка ж дой точ ке ко то рой ка са тель ная к ней сов па да ет с на прав ле ни ем
век тор но го поля в точке касания.
На при мер, для маг нит но го по ля си ло вые ли нии вы хо дят из се вер -
но го по лю са вхо дят в южный.
а)По ток век тор но го по ля.
Пусть да на по верх ность S и за да но на прав ле ние нор ма ли
r
n.
Пусть
за да но по ле век то ра
r
a
— по ле ско ро стей дви же ния жид ко сти че рез S.
На до оп ре де лить ко ли че ст во жид ко сти про хо дя щей в еди ни цу вре ме ни
че рез по верх ность S в на прав ле нии
r
n.
Ра зо бьем по верх ность S на уча ст -
ки
DS
i
,
вы бе рем точ ку
M
i
и по стро им в ней еди нич ный век тор
r
n
i
.
Со ста -
вим ин те граль ную сум му:
( ),
r
r
a S
i i
i
k
D
=
å
1
где
D D
r
r
S S n
i i i
= .
6
                                                   ¶r x
      Берем производную: 2 r¶r = 2 x¶x , откуда:     = .
                                                   ¶x r
                    ¶j    ex
      Следовательно    =- 3.
                    ¶x    r
                 ¶j     ey ¶j      ez
     Аналогично:     =- 3;      =- 3.
                 ¶y     r    ¶z    r
     Таким образом:
             e   ex r ey r ez & r      e r r         r       e r
         grad = - 3 i - 3 j - 3 k = - 3 ( xi + yj + zk ) = - 3 r .
             r   r     r     r        r                     r
                                               r ì¶ ¶ ¶ü
     Введем символический вектор «набла» Ñ = í ; ; ý называе-
                                                   î ¶x ¶y ¶z þ
мый оператором Гамильтона. Таким образом:
                               gradj = Ñj.

      2) Векторное поле
      Задание векторного поля — это когда каждой точке про
                                                       r странства
поставлено в соответствии значение векторной величины F . Например,
 r    e r
F = - 3 r — сила взаимодействия зарядов. Поэтому векторное поле на-
     r
зывается силовым. Графически векторное поле изображается в виде
векторных (силовых) линий.
      Силовой (векторной) линией векторного поля называется кривая,
в каждой точке которой касательная к ней совпадает с направлением
векторного поля в точке касания.
      Например, для магнитного поля силовые линии выходят из север-
ного полюса входят в южный.

      а)Поток векторного поля.                                    r
      Пусть дана поверх
                      r ность S и задано направление нормали n. Пусть
задано поле вектора a — поле скоростей движения жидкости через S.
Надо определить количество жидкости     r проходящей в единицу времени
через поверхность S в направлении n. Разобьем поверхность S rна участ-
ки DS i , выберем точку M i и построим в ней единичный вектор n i . Соста-
вим интегральную сумму:
                        k r    r          r          r
                        å(ai DS i ), где DS i = DS i n i .
                       i =1


6

Страницы