Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
a
x
a
y
a
z
V
x
y
z
.
Та ким об ра зом
div
r
a
a
x
a
y
a
z
x
y
z
=
+
+
.
Не труд но ви деть, что
div
r
r
r
a a= Ñ( )
— ска ляр.
Свой ст ва ди вер ген ции:
div div div( )
r
r
r
r
a b a b+ = +
;
div div( )j j j
r r r
a a a= + Ñ
.
Дей ст ви тель но:
( )j j j j
r
r r
r
a a i a j a k
x y z
= + +
.
div( )
( )
( )
( )
j
j
j
j
j
j
j
j
r
a
a
x
a
y
a
z
a
x
a
x
a
y
a
y
x
y
z
x
x
y
y
= + + = + + + + j
j
j
j j
a
z
a
z
a
x
a
y
a
z
a
x
a
z
z
x
y
z
x y
+ =
=
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
+
y
a
z
a a
z
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= +
j
j j.div grad
r r
в) Урав не ние не раз рыв но сти
Пусть че рез объ ем V те чет жид кость с плот но стью
r
.
Пусть
r
r r
r
v v i v j v k
x y z
= + +
— ско рость те че ния.
r
r
v
— по ток век то -
ра — это мас са жид ко сти, вы те каю щей че рез по верх ность
dS
за еди ни цу
вре ме ни. То гда че рез всю по верх ность за еди ни цу вре ме ни вы те ка ет
r
r
vdS
S
òò
.
По тео ре ме Га ус са-Ост ро град ско го:
r r
r
r
r
vdS vdV
S V
òò òòò
= div
.
С дру гой сто ро ны:
r
t
— это так же ско рость умень ше ния мас сы
жид ко сти в объ е ме
dV
за еди ни цу вре ме ни. То гда во всем объ е ме мас са
из ме ня ет ся на
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
òòò
r
t
dV
V
. Зна чит:
divr
r
r
VdV
t
dV
V V
òòò òòò
= -
.
8
                             æ ¶a ¶a y ¶a z ö
                            =ç x +    +     ÷V .
                             ç ¶x  ¶y   ¶z ÷ø
                             è
                         r ¶a ¶a y ¶a z
       Таким образом diva = x +        +     .
                             ¶x    ¶y     ¶z
                                r rr
       Не трудно видеть, что diva = (Ña ) — скаляр.

       Свойства дивергенции:
                            r r          r      r
                        div(a + b ) = diva + divb ;
                              r          r r
                        div(ja ) = jdiva + a Ñj.
       Действительно:
                           r         r        r        r
                         (ja ) = jax i + ja y j + ja z k .

         r (jax ) (ja y ) (ja z )    a      j   ay    j   a       j
    div(ja ) =   +       +        = j x + ax + j + a y + j z + a z =
               x    y       z         x     x   y     y    z      z
              æ ¶a ¶a y ¶a z    ö æ ¶j        ¶j      ¶j ö        r r
           = jç x +    +        ÷ + ç ax + ay    + az    ÷÷ = jdiva + a gradj.
              ç ¶x  ¶y   ¶z     ÷ ç ¶x        ¶y      ¶z ø
              è                 ø è

       в) Уравнение неразрывности
       Пусть через объем V течет     r жидкость с плотностью  r.
              r      r       r                              r
       Пусть v = v x i + v y j + v z k — скорость течения. rv — поток векто-
ра — это масса жидкости, вытекающей через поверхность dS за единицу
времени. Тогда через всю поверхность за единицу времени вытекает
    r
òò rvdS .
S

       По теореме Гаусса-Остроградского:
                              r r           r
                         òò rvdS  = òòò divrvdV .
                            S            V

                           ¶r
       С другой стороны:      — это также скорость уменьшения массы
                           ¶t
жидкости в объеме dV за единицу времени. Тогда во всем объеме масса
                  æ ¶r ö                     r        ¶r
изменяется на òòò ç - ÷dV . Значит: òòò divrVdV = -òòò dV .
               V è
                     ¶ t ø           V              V
                                                      ¶t

8

Страницы