Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Или
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
òòò
r
r
t
V dV
V
div
r
0
.
То есть:
+ =
r
r
t
Vdiv
r
0
. Это урав не ние не раз рыв но сти, вы ра жаю -
щее за кон со хра не ния массы.
Мож но пе рей ти к пол ной про из вод ной:
div div divr r r
r
r
r
r
r r r r
v v v
v
x
v
y
v
z
v
x
y
z
= Ñ + =
+
+
+
,
но
v
dx
dt
x
=
;
v
dy
dt
y
=
;
v
dz
dt
z
=
, по это му
div divr
r r r
r
r r
v
x
dx
dt y
dy
dt z
dz
dt
v=
+
+
+
.
Под ста вим в урав не ние не раз рыв но сти:
+
+
+
+ =
r r r r
r
t x
dx
dt y
dy
dt z
dz
dt
vdiv
r
0
.
То есть:
d
dt
v
r
r+ =div
r
0
.
г) Цир ку ля ция век тор но го по ля
Пусть за дан по ток век тор но го по ля
r
F
. На до най ти ра бо ту по пе ре -
ме ще нию точ ки в этом си ло вом по ле. Пусть дви же ние про ис хо дит по
замк ну то му кон ту ру L. Ра бо та по пе ре ме ще нию точ ки по замк ну то му
кон ту ру вы ра жа ет ся че рез кри во ли ней ный ин те грал вто ро го ро да и на -
зы ва ет ся цир ку ля ци ей век то ра
r
F
вдоль кон ту ра L:
A Fdr
L
=
ò
r
r
или
A F dx F dy F dz
x y z
L
= + +
ò
( )
.
По ло жи тель ные зна че ния цир ку ля ции — про тив ча со вой стрел -
ки. Ве ли чи на цир ку ля ции за ви сит от ори ен та ции контура в поле.
9
              æ ¶r        rö
      Или òòò ç + divrV ÷dV = 0.
           V è
                ¶t          ø
               ¶r         r
      То есть:     + divrV = 0. Это уравнение неразрывности, выражаю-
                ¶t
щее закон сохранения массы.
      Можно перейти к полной производной:

                r r            r v ¶r v y ¶r v z ¶r       r
            divrv = v Ñr + rdivv = x +      +       + rdivv,
                                   ¶x  ¶y     ¶z

       dx        dy      dz             r ¶r dx ¶r dy ¶r dz         r
но v x =  ; v y = ; v z = , поэтому divrv =      +     +      + rdivv.
       dt        dt      dt                 ¶x dt ¶y dt ¶z dt
      Подставим в уравнение неразрывности:

                      ¶r ¶r dx ¶r dy ¶r dz       r
                        +     +     +      + rdivv = 0.
                      ¶t ¶x dt ¶y dt ¶z dt

                 dr       r
      То есть:      + rdivv = 0.
                 dt

     г) Циркуляция векторного поля      r
     Пусть задан поток векторного поля F . Надо найти работу по пере-
мещению точки в этом силовом поле. Пусть движение происходит по
замкнутому контуру L. Работа по перемещению точки по замкнутому
контуру выражается через криво
                             r линейный интеграл второго рода и на-
зывается циркуляцией вектора F вдоль контура L:
                                             r r
                                       A = ò Fdr
                                           L


или

                            A = ò (F x dx + F y dy + F z dz).
                                   L


      Положительные значения циркуляции — против часовой стрел-
ки. Величина циркуляции зависит от ориентации контура в поле.
                                                                     9

Страницы