Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

д) Ро тор по ля
Ро то ром по ля
r
F
в точ ке М на зы ва ет ся век тор, про ек ция ко то ро го
на на прав ле нии
r
n
0
рав на плот но сти цир ку ля ции по ля
r
F
в точ ке М по на -
прав ле нию
r
n
0
:
A M
Fd r
S
F M
n
S
L
n
r r
r
r
r
0 0
0
( ) lim ( )= =
®
ò
rot
.
Най дем че му ра вен
rot
r r r r
r
F F F i F j F k
x y z
( )= + +
.
Рас смот рим про ек ции
rot
r
F
на на прав ле ние век то ра
r
k
, по кон ту ру
MNPQ в плос ко сти XOY:
A Fdr F dx F dy
k x y
MNPQ
= = +
ò ò
r
r
( )
. Так как на ли ни ях MN и PQ:
dr i dx
r
r
=
,
r
r
Fdr F dx
x
=
, а на ли ни ях MN и QМ:
dr jdy
r
r
=
б
r
r
Fdr F dx
y
=
.
10
Рис. 1
      д) Ротор поля r
      Ротором поля F в точке М называется вектор, про
                                                   r екция которого
                r
на направлении n 0 равна плотности циркуляции поля F в точке М по на-
            r
правлению n 0 :

                                                 r r
                                               ò Fdr         r
                        Anr 0 (M ) = lim L              = rotF (M ) nr 0 .
                                        S ®0     S

                         r r        r       r       r
    Найдем чему равен rotF (F = F x i + F y j + F z k ).
                             r                           r
    Рассмотрим проекции rotF на направление вектора k, по контуру
MNPQ в плоскости XOY:




                                               Рис. 1



             r r                                                          r r
      Ak = ò Fdr =    ò (F dx + F
                            x       y   dy ). Так как на линиях MN и PQ: dr = i dx ,
                     MNPQ
r r                                  r r        r r
Fdr = F x dx , а на линиях MN и QМ: dr = j dy б Fdr = F y dx .

10

Страницы