Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Диф фе рен ци аль ные опе ра ции вто ро го по ряд ка:
divgrad divj
j j j
j
=
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
æ
r r
r
i
x
j
y
k
z
x x
è
ç
ö
ø
÷
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
+
+
y y z z
x y
j j j j
2
2
2
2
=
2
2
j
j
z
D .
D
— опе ра тор Ла п ла са (ла п ла си ан).
Та ким об ра зом:
divgrad gradj j j j= Ñ = ÑÑ =( ) ( )
r r r
D
;
r r
ÑÑ = = Ñ =
+
+
D
2
2
2
2
2
2
2
x y z
.
rotgrad gradj j j j= Ñ = ÑÑ = ÑÑ =[ ] [ ] [ ]
r r r r r
0
,
так как
j
— ска ляр, а
[ ]
r r
ÑÑ = 0
(век тор ное про из ве де ние двух кол ли не ар -
ных век то ров).
[ ]
rot rot rot di
r r r r r r r r r r r r r
F F F F F= Ñ = Ñ Ñ = Ñ Ñ - ÑÑ = Ñ[ ] [ ] ( ) ( ) v
graddiv
r r
r r
F F
F F
- =
= -
D
D .
( )
divrot rot
r r r r r r
F F F= Ñ = Ñ Ñ =( ) [ ] 0
, так как
[ ]
r r r
Ñ ^ ÑF
, а ска ляр ное про -
из ве де ние вза им но пер пен ди ку ляр ных век то ров рав но ну лю.
Од на ко, не все гда
rot
r r
F F^
, по это му та кой вы вод на до про ве рять
ана ли ти че ски:
divrot rot rot rot
r r r r
F
x
F
y
F
z
F
x
x y z
=
+
+
=
=
( ) ( ) ( )
F
y
F
z y
F
z
F
x z
F
x
z
y
x
z
y
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
-
+
-
F
y
F
x y
F
x z
F
y z
F
x
x
z
y
x
z
2
2
2
2
y
F
x z
F
y z
y
x
+
-
=
2
2
0.
12
     Дифференциальные операции второго порядка:

                      æ r ¶j r ¶j r ¶j ö
      divgrad j = divçç i   +j    +k     ÷=
                      è ¶x     ¶y    ¶z ÷ø
                   ¶ æ ¶j ö ¶ æ ¶j ö ¶ æ ¶j ö ¶ 2 j ¶ 2 j ¶ 2 j
                = ç ÷ + çç ÷÷ + ç ÷ = 2 + 2 + 2 = Dj.
                  ¶x è ¶x ø ¶y è ¶y ø ¶z è ¶z ø ¶x  ¶y    ¶z

     D — оператор Лапласа (лапласиан).
     Таким образом:
                               r          rr
                  divgrad j = (Ñgradj) = (ÑÑj) = Dj;

                        rr            ¶2  ¶2  ¶2
                        ÑÑ = D = Ñ 2 = 2 + 2 + 2 .
                                      ¶x  ¶y  ¶z
                                  r          rr      rr
                     rotgrad j = [Ñgradj] = [ÑÑj] = [ÑÑ]j = 0,
                        rr
так как j — скаляр, а [ÑÑ] = 0 (векторное произведение двух коллинеар-
ных векторов).
              r    r   r     r rr     r rr     r rr     r   r    r
                             [       ]
       rotrot F = [ÑrotF ] = Ñ[ÑF ] = Ñ(ÑF ) - F (ÑÑ) = ÑdivF - DF =
                           r   r
                = graddivF - DF .
           r    r   r     r rr                 rr     r
                            (        )
     divrotF = (ÑrotF ) = Ñ[ÑF ] = 0, так как [ÑF ] ^ Ñ, а скалярное про-
изведение взаимно перпендиr куляр
                               r ных векторов равно нулю.
     Однако, не всегда rotF ^ F , поэтому такой вывод надо проверять
аналитически:
             r ¶     r       ¶   r      ¶    r
      divrot F = (rotF ) x + (rotF ) y + (rotF ) z =
                ¶x          ¶y          ¶z
                    ¶ æç ¶F z ¶F y
                                 ö ¶ æ ¶F x ¶F z ö ¶ æ ¶F y ¶F x
                                 ÷+ ç
                                                                     ö
                =            -              -       ÷+ ç             ÷=
                    ¶x çè ¶y   ¶z÷ ¶y ç ¶z    ¶ x   ÷ ¶z ç ¶x - ¶y   ÷
                                 ø     è            ø    è           ø
                    2     2               2       2
                  ¶ F z ¶ F y ¶ Fx ¶ F z ¶ F y ¶ 2 Fx
                                   2
                =       -      +       -      +        -      = 0.
                  ¶ x¶ y ¶ x¶ z ¶ y ¶ z ¶ x¶ y ¶ x¶ z ¶ y ¶ z

12

Страницы