Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В со ле нои даль ных по лях век тор ные ли нии ни где не кон ча ют ся и
ни где не на чи на ют ся. Они ухо дят в бес ко неч ность или замыкаются на
себя.
Ес ли нет ис точ ни ков, то
di v
r
F =0
, то есть
divgradj = 0
или
Ñ = =
2
0j jD
.
Dj = 0
— это урав не ние Ла п лас са.
Ес ли есть ис точ ни ки (с плот но стью
r
):
Dj pr= -4
— это урав не ние
Пу ас со на.
3.3.2. Ба зис ли ней но го про стран ст ва
1) Ли ней но за ви си мые и ли ней но не за ви си мые сис те мы век то ров
Опе ра ции сло же ния век то ров и ум но же ния век то ра на чис ло ле -
жат в ос но ве об шир но го и бо га то го при ло же ния ми раз де ла ма те ма ти ки,
на зы вае мо го ли ней ной ал геб рой. Од ним из цен траль ных по ня тий ли -
ней ной ал геб ры является понятие линейной зависимости.
Сна ча ла за ме тим сле дую щее: ес ли при рас смот ре нии не ко то ро го
во про са при хо дит ся иметь де ло с не сколь ки ми век то ра ми, то, как пра -
ви ло, их обо зна ча ют од ной и той же бу к вой а с раз ны ми ин дек са ми:
a a
1
2
, ,
.... Весь на бор {
a a
1
2
,
,...} на зы ва ют сис те мой век то ров.
Оп ре де ле ние 1. Пусть да ны век то ры
a a a
s
1
2
, ,K
из
R
n
. Лю бой век -
тор a ви да
a k a k a k a
s s
= + + +
1 1
2 2
K
, (1)
где
k k k
1
2
, , ,K
— ка кие угод но чис ла, на зы ва ет ся ли ней ной ком би на ци ей
век то ров
a a a
s
1
2
, , ,K
.
При на ли чии ра вен ст ва (1) так же го во рят, что век тор а ли ней но вы -
ра жа ет ся че рез век то ры
a a a
s
1
2
, , ,K
или что а раз ла га ет ся по век то рам
a a a
s
1
2
, , ,K
На при мер, ес ли
a
1
2 2 3= ( , , )
,
a
2
0 4 5= -( , , )
,
a
3
3 13 8= -( , , )
,
то
3 5 2 6 6 9 0 20 25 6 26 16 0 0 0
1
2 3
a a a- - = - - - - =( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
.
Та ким об ра зом, век тор
( , , )0 0 0
яв ля ет ся ли ней ной ком би на ци ей
век то ров
a
1
,
a
2
,
a
3
.
14
        В соленоидальных полях векторные линии нигде не кончаются и
нигде не начинаются. Они уходят в бесконечность или замыкаются на
себя.                                   r
        Если нет источников, то divF = 0, то есть div grad j = 0 или
Ñ 2 j = 0 = Dj.
        Dj = 0 — это уравнение Лапласса.
        Если есть источники (с плотностью r): Dj = -4pr — это уравнение
Пуассона.

      3.3.2. Базис линейного пространства

          1) Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
          Операции сложения векторов и умножения вектора на число ле-
жат в основе обширного и богатого приложениями раздела математики,
называемого линейной алгеброй. Одним из центральных понятий ли-
нейной алгебры является понятие линейной зависимости.
          Сначала заметим следующее: если при рассмотрении некоторого
вопроса приходится иметь дело с несколькими векторами, то, как пра-
вило, их обозначают одной и той же буквой а с разными индексами:
a1 ,a2 ,.... Весь набор {a1 ,a2 ,...} называют системой векторов.

      Определение 1. Пусть даны векторы a1 ,a2 ,Kas из R n . Любой век-
тор a вида
      a = k1 a1 + k2 a2 +K+ks as ,                                                  (1)
где k1 , k2 ,K, k — какие угодно числа, называется линейной комбинацией
векторов a1 ,a2 ,K,as .
        При наличии равенства (1) также говорят, что вектор а линейно вы-
ражается через векторы a1 ,a2 ,K,as или что а разлагается по векторам
a1 ,a2 ,K,as Например, если

                   a1 = (2, 2, 3), a2 = (0, - 4, 5), a3 = (3, 13, - 8),

то

          3a1 - 5a2 - 2a3 = (6, 6, 9) - (0, - 20, 25) - (6, 26, -16) = (0, 0, 0).

     Таким образом, вектор (0, 0, 0) является линейной комбинацией
векторов a1 , a2 , a3 .

14

Страницы