Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Об рат но, пусть век то ры
a a a
s
1
2
, , ,K
ли ней но за ви си мы, т.е. име ет
ме сто ра вен ст во (2) с не рав ны ми ну лю од но вре мен но ко эф фи ци ен та ми
c c c
s
1
2
, , ,
.
K
. Пусть, ска жем,
c
1
0¹
. Пе ре пи шем равенство (2) в виде
- = + +c a c a c a
s s
1 1
2 2
K
и, ум но жив обе час ти на
-
-
c
1
1
, по лу чим ра вен ст во
a
c
c
a
c
c
a
s
s
1
2
1
2
1
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
- -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
K
,
оз на чаю щее, что век тор
a
1
ли ней но вы ра жа ет ся че рез ос таль ные век то -
ры сис те мы.
3. Ес ли часть сис те мы ли ней но за ви си ма, то и вся сис те ма ли ней -
но за ви си ма.
След ст вие: сис те ма, вклю чаю щая век тор 0, ли ней но за ви си ма.
До ка за тель ст во. Пусть да на сис те ма, на при мер, из трех век то ров
a a a
1
2 3
, ,
, при чем часть сис те мы, со стоя щая из двух век то ров
a a
1
2
,
, ли -
ней но за ви си ма, т.е. спра вед ли во ра вен ст во
c a c a
2 2 3 3
0+ =
, где
c
2
или
c
3
от лич ны от ну ля. До ба вив к обе им час тям век тор
0 0
1
= × a
, по лу чим ра -
вен ст во
0 0
1
2 2 3 3
× + + =a c a c a
,
оз на чаю щее ли ней ную за ви си мость всей сис те мы
a a a
1
2 3
, , .
4. Ес ли сис те ма {
a a a
s
1
2
, , ,K
} ли ней но не за ви си ма, но при до бав ле -
нии к ней еще од но го век то ра а ста но вит ся ли ней но за ви си мой, то век -
тор а ли ней но вы ра жа ет ся че рез
a a a
s
1
2
, , ,K
.
До ка за тель ст во. По ус ло вию спра вед ли во ра вен ст во ви да
c a c a c a c a
s s
1 1
2 2
0+ + + + =K
(3)
где не все чис ла
c c c c
s
1
2
, , , ,K
рав ны ну лю. Не труд но ви деть, что имен но
c ¹ 0
. В про тив ном слу чае мы по лу чи ли бы ра вен ст во
c a c a c a
s s
1 1
2 2
0+ + + =K
, оз на чаю щее ли ней ную за ви си мость сис те мы
a a a
s
1
2
, , ,K
. Поль зу ясь тем, что
c ¹
0, мож но из ра вен ст ва (3) вы ра зить а
че рез век то ры
a a a
s
1
2
, , ,K
.
16
         Обратно, пусть векторы a1 ,a2 ,K,as линейно зависимы, т.е. имеет
место равенство (2) с не равными нулю одновременно коэффициентами
c1 ,c 2 ,K,c s . . Пусть, скажем, c1 ¹ 0 . Перепишем равенство (2) в виде

                                -c1 a1 = c 2 a2 +K+c s as

и, умножив обе части на -c1-1 , получим равенство

                                  æc      ö      æc        ö
                            a1 = -ç 2     ÷a2 -K-ç s       ÷as ,
                                  çc      ÷      çc        ÷
                                  è 1     ø      è 1       ø

означающее, что вектор a1 линейно выражается через остальные векто-
ры системы.

         3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линей-
но зависима.
         Следствие: система, включающая вектор 0, линейно зависима.
         Доказательство. Пусть дана система, например, из трех векторов
a1 ,a2 ,a3 , причем часть системы, состоящая из двух векторов a1 ,a2 , ли-
нейно зависима, т.е. справедливо равенство c 2 a2 + c 3 a3 = 0, где c 2 или
c 3 отличны от нуля. Добавив к обеим частям вектор 0 = 0 ×a1 , получим ра-
венство

                                0 × a1 + c 2 a2 + c 3 a3 = 0,

означающее линейную зависимость всей системы a1 ,a2 ,a3 .

      4. Если система {a1 ,a2 ,K,as } линейно независима, но при добавле-
нии к ней еще одного вектора а становится линейно зависимой, то век-
тор а линейно выражается через a1 ,a2 ,K,as .
      Доказательство. По условию справедливо равенство вида
      c1 a1 + c 2 a2 +K+c s as + ca = 0                                 (3)
где не все числа c1 ,c 2 ,K,c s ,c равны нулю. Нетрудно видеть, что именно
c ¹ 0. В про тив ном слу чае мы по лу чи ли бы ра вен ст во
c1 a1 + c 2 a2 +K+c s as = 0, означающее линейную зависимость системы
a1 ,a2 ,K,as . Пользуясь тем, что c ¹ 0, можно из равенства (3) выразить а
через векторы a1 ,a2 ,K,as .

16

Страницы