Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Два век то ра, свя зан ные та кой за ви си мо стью, как уже ска за но, на -
зы ва ют ся кол ли не ар ны ми. Итак, сис те ма из двух век то ров ли ней но за -
ви си ма то гда и толь ко то гда, ко гда эти векторы коллинеарны.
За ме тим, что та кое за клю че ние от но сит ся не толь ко к
R
3
, но и к
лю бо му
R
n
.
2. Пусть сис те ма в
R
3
со сто ит из трех век то ров a,b,c. Ли ней ная за -
ви си мость оз на ча ет, что один из век то ров, ска жем а, ли ней но вы ра жа -
ет ся че рез ос таль ные:
a kb lc= +
(4)
Ес ли счи тать, что все век то ры a,b,c име ют об щее на ча ло, то из (4)
сле ду ет, что все три век то ра ле жат в од ной плос ко сти.
Оп ре де ле ние 5. Три век то ра a,b,c в
R
3
, ле жа щие в од ной плос ко сти
или па рал лель ные од ной плос ко сти, на зы ва ют ся ком пла нар ны ми
(рис. 2, где сле ва ука за ны век то ры a,b,c из од ной плос ко сти, а спра ва те
же век то ры от ло же ны от раз ных на чал и лишь па рал лель ны од ной плос -
ко сти).
Итак, ес ли три век то ра в
R
3
ли ней но за ви си мы, то они ком пла -
нар ны. Спра вед ли во и об рат ное: ес ли век то ры a,b,c из
R
3
ком пла нар ны,
то они ли ней но за ви си мы.
Пусть те перь да на сис те ма из s век то ров в
R
s
, где
s > 3
. В э том слу -
чае сис те ма обя за тель но ли ней но за ви си ма. Это вы те ка ет из сле дую щей
об щей тео ре мы.
Тео ре ма. В про стран ст ве
R
n
лю бая сис те ма из s век то ров, где
s n>
,
ли ней но за ви си ма.
18
Рис. 2
     Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, на-
зываются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно за-
висима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
     Заметим, что такое заключение относится не только к R 3 , но и к
любому R n .

      2. Пусть система в R 3 состоит из трех векторов a,b,c. Линейная за-
висимость означает, что один из векторов, скажем а, линейно выража-
ется через остальные:

      a = kb + lc                                                        (4)

      Если считать, что все векторы a,b,c имеют общее начало, то из (4)
следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.

      Определение 5. Три вектора a,b,c в R 3 , лежащие в одной плоскости
или параллельные одной плоскости, называются компланарными
(рис. 2, где слева указаны векторы a,b,c из одной плоскости, а справа те
же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плос-
кости).




                                   Рис. 2

      Итак, если три вектора в R 3 линейно зависимы, то они компла-
нарны. Справедливо и обратное: если векторы a,b,c из R 3 компланарны,
то они линейно зависимы.
      Пусть теперь дана система из s векторов в R s , где s > 3. В этом слу-
чае система обязательно линейно зависима. Это вытекает из следующей
общей теоремы.

     Теорема. В пространстве R n любая система из s векторов, где s > n,
линейно зависима.
18

Страницы