Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 1. Век то ры из
R
3
:
a
1
1 3 7= -( , , )
,
a
2
0 4 6= ( , , )
,
a
3
0 7 1= ( , , )
,
a
4
1 0 0= ( , , )
ли ней но за ви си мы, так как их чис ло боль ше 3.
Ес ли да на кон крет ная сис те ма век то ров, то ус та но вить, бу дет ли
эта сис те ма ли ней но за ви си ма, во об ще го во ря, не так про сто (ис клю чая
раз ве лишь тот слу чай, ко гда чис ло век то ров боль ше чис ла ко ор ди нат в
каждом векторе, т.е.
s n>
).
На при мер, в сис те ме
a
1
2 5 1 1= - -( , , , )
,
a
2
1 3 6 5= ( , , , )
,
a
3
1 4 1 2= -( , , , )
при по верх но ст ном рас смот ре нии труд но за ме тить ка кие-ли бо за ви си -
мо сти, хо тя на са мом де ле эти век то ры свя за ны со от но ше ни ем
7 3 11 0
1
2 3
a a a- + =
.
Прак ти че ский спо соб ре ше ния во про са о ли ней ной за ви си мо сти
бу дет дан ниже.
2) Ба зис ли ней но го про стран ст ва
Оп ре де ле ние 6. Ба зи сом ли ней но го про стран ст ва на зы ва ют лю -
бую упо ря до чен ную сис те му век то ров, для ко то рой вы пол не ны два
условия:
1) эта сис те ма век то ров ли ней но не за ви си ма;
2) ка ж дый век тор в ли ней ном про стран ст ве мо жет быть пред став -
лен в ви де ли ней ной ком би на ции век то ров этой систе мы.
Пусть
b b
n
1
, ,K
— ба зис в ли ней ном про стран ст ве. Мы зна ем, что
лю бой век тор х в дан ном про стран ст ве мо жет быть за пи сан сле дую щим
об ра зом:
x x b x b
n n
= + +
1 1
K
.
Та кую за пись на зы ва ют раз ло же ни ем век то ра х по ба зи су
b b
n
1
, ,K
.
Дан ное здесь оп ре де ле ние ба зи са со гла со вы ва ет ся с по ня ти ем ба -
зи са в про стран ст ве сво бод ных век то ров . На при мер, в трех мер ном про -
стран ст ве ба зи сом бы ла лю бая трой ка не ком пла нар ных век то ров. Та кая
трой ка век то ров яв ля ет ся ли ней но не за ви си мой, так как пред став ле ние
од но го ее век то ра в ви де ли ней ной ком би на ции двух дру гих рав но силь -
19
     Пример 1. Векторы из R 3 :
     a1 = (-1, 3, 7),
     a2 = (0, 4, 6),
     a3 = (0, 7, 1),
     a4 = (1, 0, 0)
линейно зависимы, так как их число больше 3.
      Если дана конкретная система векторов, то установить, будет ли
эта система линейно зависима, вообще говоря, не так просто (исключая
разве лишь тот случай, когда число векторов больше числа координат в
каждом векторе, т.е. s > n).
      Например, в системе
                a1 = (2, - 5, 1, -1), a2 = (1, 3, 6, 5), a3 = (-1, 4, 1, 2)
при поверхностном рассмотрении трудно заметить какие-либо зависи-
мости, хотя на самом деле эти векторы связаны соотношением
                                 7a1 - 3a2 +11a3 = 0.
      Практический способ решения вопроса о линейной зависимости
будет дан ниже.

      2) Базис линейного пространства
      Определение 6. Базисом линейного пространства называют лю-
бую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два
условия:
      1) эта система векторов линейно независима;
      2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представ-
лен в виде линейной комбинации векторов этой системы.
      Пусть b1 ,K, bn — базис в линейном пространстве. Мы знаем, что
любой вектор х в данном пространстве может быть записан следующим
образом:
                                  x = x 1 b1 +K+ x n bn .
      Такую запись называют разложением вектора х по базису b1 ,K, bn .
      Данное здесь определение базиса согласовывается с понятием ба-
зиса в пространстве свободных векторов . Например, в трехмерном про-
странстве базисом была любая тройка некомпланарных векторов. Такая
тройка векторов является линейно независимой, так как представление
одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносиль-
                                                                              19

Страницы