Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оп ре де ле ние 7. Ко эф фи ци ен ты раз ло же ния век то ра по ба зи су ли -
ней но го про стран ст ва, за пи сан ные в со от вет ст вии с по ряд ком век то ров
в ба зи се, на зы ва ют ко ор ди на та ми век то ра в этом ба зи се.
При мер 2. В ли ней ном про стран ст ве мно го чле нов пе ре мен ной х
сте пе ни не вы ше 2 эле мен ты х и
x
2
ли ней но не за ви си мы: их ли ней ная
ком би на ция
a bx x+
2
есть мно го член, ко то рый ра вен ну лю (ну ле во му
мно го чле ну) лишь при
a b= = 0
. В то же вре мя па ра этих эле мен тов не
об ра зу ет ба зи са. Дей ст ви тель но, мно го член 1 ну ле вой сте пе ни, яв ляю -
щий ся эле мен том про стран ст ва мно го чле нов, нель зя пред ста вить в ви де
ли ней ной ком би на ции мно го чле нов х и
x
2
. Де ло в том, что ли ней ная
ком би на ция
a bx x+
2
мно го чле нов х и
x
2
есть ли бо мно го член вто рой
сте пе ни , ли бо мно го член пер вой сте пе ни , ли бо ну ле вой мно го член.
Зна чит, ра вен ст во
1
2
= +a bx x
двух мно го чле нов не воз мож но ни при ка -
ких зна че ни ях ко эф фи ци ен тов.
В то же вре мя три мно го чле на 1, х,
x
2
об ра зу ют ба зис ли ней но го
про стран ст ва мно го чле нов. До ка жем это.
Во-пер вых, сис те ма мно го чле нов 1, х,
x
2
ли ней но не за ви си ма.
Со ста вим их ли ней ную ком би на цию с про из воль ны ми ко эф фи ци ен та -
ми
a b g, ,
и при рав ня ем ну лю:
a b g× + + =1 0
2
x x
. Это ра вен ст во есть ра -
вен ст во двух мно го чле нов, и оно воз мож но толь ко в слу чае, ко гда ко эф -
фи ци ен ты этих двух мно го чле нов сов па да ют. Зна чит,
a b g= =
= 0.
Во-вто рых, че рез мно го чле ны 1, х,
x
2
мож но вы ра зить лю бой
мно го член вто рой сте пе ни, т.е. лю бой эле мент ли ней но го про стран ст ва
мно го чле нов мож но пред ста вить в ви де ли ней ной ком би на ции ука зан -
ных трех эле мен тов. Возь мем про из воль ный мно го член
p x x x( ) .= + +a b g
2 2
Его за пись мож но рас смат ри вать как ли ней ную ком би на цию
мно го чле нов 1, х,
x
2
, при чем ко эф фи ци ен ты мно го чле на в то же вре мя
яв ля ют ся ко эф фи ци ен та ми ли ней ной ком би на ции.
Итак, сис те ма трех мно го чле нов 1, х,
x
2
ли ней но не за ви си ма,
а лю бой эле мент ли ней но го про стран ст ва мно го чле нов яв ля ет ся ли ней -
ной ком би на ци ей ука зан ной сис те мы. Со глас но оп ре де ле нию 1, сис те -
ма мно го чле нов 1, х,
x
2
есть ба зис в про стран ст ве мно го чле нов.
21
      Определение 7. Коэффициенты разложения вектора по базису ли-
нейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов
в базисе, называют координатами вектора в этом базисе.

     Пример 2. В линейном пространстве многочленов переменной х
степени не выше 2 элементы х и x 2 линейно независимы: их линейная
комбинация ax + bx 2 есть многочлен, который равен нулю (нулевому
многочлену) лишь при a = b = 0. В то же время пара этих элементов не
образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являю-
щийся элементом пространства многочленов, нельзя представить в виде
линейной комбинации многочленов х и x 2 . Дело в том, что линейная
комбинация ax + bx 2 многочленов х и x 2 есть либо многочлен второй
степени , либо многочлен первой степени , либо нулевой многочлен.
Значит, равенство 1 = ax + bx 2 двух многочленов невозможно ни при ка-
ких значениях коэффициентов.
      В то же время три многочлена 1, х, x 2 образуют базис линейного
пространства многочленов. Докажем это.
      Во-первых, система многочленов 1, х, x 2 линейно независима.
Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициента-
ми a ,b, g и приравняем нулю: a ×1 + bx + gx 2 = 0. Это равенство есть ра-
венство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэф-
фициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, a = b = g = 0.
     Во-вторых, через многочлены 1, х, x 2 можно выразить любой
многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства
многочленов можно представить в виде линейной комбинации указан-
ных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен

                           p( x ) = a + bx 2 + gx 2 .

     Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию
многочленов 1, х, x 2 , причем коэффициенты многочлена в то же время
являются коэффициентами линейной комбинации.
     Итак, система трех многочленов 1, х, x 2 линейно независима,
а любой элемент линейного пространства многочленов является линей-
ной комбинацией указанной системы. Согласно определению 1, систе-
ма многочленов 1, х, x 2 есть базис в пространстве многочленов.
                                                                       21

Страницы