Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3) Ли ней ные опе ра ции в ко ор ди нат ной фор ме
Фик са ция по ряд ка век то ров в ба зи се пре сле ду ет еще од ну цель —
вве сти мат рич ные спо со бы за пи си век тор ных со от но ше ний. Ба зис
b b
n
1
, ,K
в дан ном ли ней ном про стран ст ве удоб но записывать как
матрицу-строку
b b b
n
= ( )
1
K
,
а ко ор ди на ты век то ра х в этом ба зи се — как мат ри цу-стол бец:
x
x
x
n
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
1
M
То гда раз ло же ние
x x b x b
n n
= + +
1 1
K
век то ра х по ба зи су
b b
n
1
, ,K
мож но за пи сать как про из ве де ние мат ри цы-стро ки на мат ри цу-стол -
бец:
x bx=
.
При мер 3. Век то ры ор то нор ми ро ван но го ба зи са в трех мер ном
про стран ст ве име ют стан дарт ное обо зна че ние и по ря док:
i j k, ,
. В мат -
рич ной за пи си это бу дет вы гля деть так:
b i j k= ( )
.
За пись ли ней ных опе ра ций над сво бод ны ми век то ра ми в ко ор ди -
нат ной фор ме обоб ща ет ся на слу чай про из воль но го ли ней но го
пространства.
При сло же нии лю бых двух век то ров в ли ней ном про стран ст ве их
ко ор ди на ты в од ном и том же ба зи се скла ды ва ют ся, а при ум но же нии
век то ра на чис ло его ко ор ди на ты умножаются на это число.
Рас смот рим в ли ней ном про стран ст ве ба зис
b b b
n
= ( )
1
K
. Пусть да -
ны раз ло же ния век то ров x и y в этом ба зи се:
x x b x b
n n
= + +
1 1
K
,
y y b y b
n n
= + +
1 1
K
.
В си лу ак си ом ли ней но го про стран ст ва
x y x b x b y b y b x y b x y
n n n n n n
+ = + + + + + = + + + +( ) ( ) ( ) (
1 1 1 1 1 1 1
K K K )b
n
.
Та ким об ра зом, при сло же нии двух век то ров их ко ор ди на ты, от -
ве чаю щие од но му ба зис но му век то ру, скла ды ва ют ся. В мат рич ной за -
пи си ко ор ди нат это му со от вет ст ву ет матричная сумма столбцов
координат.
22
        3) Линейные операции в координатной форме
        Фиксация порядка векторов в базисе преследует еще одну цель —
ввести матричные способы записи векторных соотношений. Базис
b1 ,K, bn в данном линейном пространстве удобно записывать как
матрицу-строку
                                         b = (b1 K bn ),
а координаты вектора х в этом базисе — как матрицу-столбец:
                                               æ x1     ö
                                               ç        ÷
                                            x =ç M      ÷
                                               çx       ÷
                                               è n      ø
     Тогда разложение x = x 1 b1 +K+ x n bn вектора х по базису b1 ,K, bn
можно записать как произведение матрицы-строки на матрицу-стол-
бец:
                                             x = bx .

     Пример 3. Векторы ортонормированного базиса в трехмерном
пространстве имеют стандартное обозначение и порядок: i, j , k. В мат-
ричной записи это будет выглядеть так: b = (i j k).
     Запись линейных операций над свободными векторами в коорди-
натной форме обобщается на случай произвольного линейного
пространства.
     При сложении любых двух векторов в линейном пространстве их
координаты в одном и том же базисе складываются, а при умножении
вектора на число его координаты умножаются на это число.
     Рассмотрим в линейном пространстве базис b = (b1 K bn ). Пусть да-
ны разложения векторов x и y в этом базисе:
                         x = x 1 b1 +K+ x n bn , y = y 1 b1 +K+y n bn .
        В силу аксиом линейного пространства
     x + y = ( x 1 b1 +K+ x n bn ) + (y 1 b1 +K+y n bn ) = ( x 1 + y 1 )b1 +K+( x n + y n )bn .
     Таким образом, при сложении двух векторов их координаты, от-
вечающие одному базисному вектору, складываются. В матричной за-
писи координат этому соответствует матричная сумма столбцов
координат.
22

Страницы