Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ана ло гич но для про из воль но го дей ст ви тель но го чис ла
l
l l l lx x b x b x b x b
n n n n
= + + = + +( ) ( ) ( )
1 1 1 1
K K
,
т.е. при ум но же нии век то ра на чис ло ка ж дая из его ко ор ди нат ум но жа -
ет ся на это чис ло.
За пись ко ор ди нат век то ров в мат рич ной фор ме сни ма ет во прос о
том, что по ни мать, на при мер, под сло же ни ем ко ор ди нат: ко ор ди на ты
скла ды ва ют ся как мат ри цы-столб цы. Ана ло гич но стол бец ко ор ди нат
ум но жа ет ся на чис ло по правилам умножения матрицы на число.
Запись
bx by b x y+ = +( )
,
l lbx b x= ( )
со от вет ст ву ет свой ст вам мат рич ных опе ра ций: ди ст ри бу тив но сти сло -
же ния от но си тель но ум но же ния и ас со циа тив но сти ум но же ния.
Ли ней ная не за ви си мость (за ви си мость) век то ров ли ней но го про -
стран ст ва эк ви ва лент на ли ней ной не за ви си мо сти (за ви си мо сти) их
столб цов ко ор ди нат в од ном и том же ба зи се этого линейного
пространства.
Ес ли век тор а ра вен ли ней ной ком би на ции век то ров
a a
k
1
, , ,K
...,
тo есть
a a a
k k
= + +a a
1 1
K ,
то его стол бец ко ор ди нат а в за дан ном ба зи се b
ра вен та кой же ли ней ной ком би на ции столб цов ко ор ди нат
a a
1
, , ,K
k
...,
век то ров
a a
k
1
, ,K
в этом же ба зи се:
a a a= + +
1 1
a a
k k
K .
Это сле ду ет из ра венств:
ba a a ba ba b a a
k k k k k k
= + + = + + = + +a a a a a a
1 1 1 1 1 1
K K K( ) ( ) ( ).
При мер 3. В ли ней ном
R
n
про стран ст ве век то ры
e
1
= (1, 0, ..., 0),
e
2
= (0, 1, ...,0),
.....................
e
n
= (0, 0, ..., 1)
об ра зу ют ба зис
r
Ke e e
n
= ( )
1
, так как они ли ней но не за ви си мы и лю бой
век тор
r
Kx x x
n
= ( , )
1
, при над ле жа щий
R
n
, пред ста вим в ви де
x x e x e
n n
= + +
1 1
K
.
Дан ный ба зис в про стран ст ве
R
n
на зы ва ют стан дарт ным.
23
      Аналогично для произвольного действительного числа l
                l x = l( x 1 b1 +K+ x n bn ) = (l x 1 )b1 +K+(l x n )bn ,
т.е. при умножении вектора на число каждая из его координат умножа-
ется на это число.
       Запись координат векторов в матричной форме снимает вопрос о
том, что понимать, например, под сложением координат: координаты
складываются как матрицы-столбцы. Аналогично столбец координат
умножается на число по правилам умножения матрицы на число.
Запись
                         bx + by = b( x + y ), lbx = b(l x )
соответствует свойствам матричных операций: дистрибутивности сло-
жения относительно умножения и ассоциативности умножения.
      Линейная независимость (зависимость) векторов линейного про-
странства эквивалентна линейной независимости (зависимости) их
столбцов координат в одном и том же базисе этого линейного
пространства.
      Если вектор а равен линейной комбинации векторов a1 ,K,ak , ...,
тo есть a = a 1 a1 +K+a k ak , то его столбец координат а в заданном базисе b
равен такой же линейной комбинации столбцов координат a 1 ,K,a k ,...,
векторов a1 ,K,ak в этом же базисе:
                                a = a 1 a1 +K+a k ak .
      Это следует из равенств:
      ba = a 1 a1 +K+a k ak = a 1 (ba1 )+K+a k (bak ) = b(a 1 a1 +K+a k ak ).

      Пример 3. В линейном R n пространстве векторы
                              e1 = (1, 0, ..., 0),
                              e 2 = (0, 1, ...,0),
                              .....................
                              e n = (0, 0, ..., 1)
                   r
       r базис e = (e1 K e n ), так как они линейно независимы и любой
образуют
вектор x = ( x 1 ,K x n ), принадлежащий R n , представим в виде

                                 x = x 1 e1 +K+ x n e n .
      Данный базис в пространстве R n называют стандартным.
                                                                                23

Страницы