Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3.3 Ре ше ние сис те мы ли ней ных урав не ний
1) Сис те ма m ли ней ных урав не ний с n не из вест ны ми или, как бу -
дем даль ше го во рить, сис те ма
m n´
, за пи шет ся в об щем ви де так:
a x a x a x b
a x a x a x b
n
n
n n
11 1 12
2
1 1
21 1
22 2 2 2
+ + + =
+ + + =
K
K
. . . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ..
a x a x a x b
m
m mn n m
1 1
2 2
+ + + =K
(1)
Для со кра ще ния этой за пи си мож но ис поль зо вать сле дую щую
таб ли цу, ко то рая со дер жит всю ин фор ма цию о системе (1).
x
1
x
2
…
x
n
a
11
a
12
…
a
n1
b
1
a
21
a
22
…
a
n2
b
2
… … … … …
a
m1
a
m 2
…
a
mn
b
m
Ре ше ни ем сис те мы (1) яв ля ет ся лю бой на бор зна че ний не из вест -
ных:
x x x
n n
1 1
2 2
= = =a a a, , , ,K
удов ле тво ряю щий всем урав не ни ям сис те мы. Сис те ма, не имею щая ни
од но го ре ше ния, на зы ва ет ся не со вме ст ной.
Две сис те мы урав не ний с од ни ми и те ми же не из вест ны ми
x
1
,...,
x
n
на зы ва ют ся рав но силь ны ми, ес ли они име ют од но и то же мно же ст во
ре ше ний.
От ме тим, что для лю бой сис те мы (1) воз мож ны толь ко три слу чая:
а) сис те ма не име ет ни од но го ре ше ния;
б) сис те ма име ет един ст вен ное ре ше ние;
в) сис те ма име ет бес чис лен ное мно же ст во ре ше ний.
Мно же ст во всех ре ше ний сис те мы (1) на зы ва ет ся ее об щим ре ше -
ни ем. Ре шить сис те му (1) оз на ча ет най ти ее об щее ре ше ние.
Опи шем не ко то рые дей ст вия над сис те мой (1), на зы вае мые эле -
мен тар ны ми пре об ра зо ва ния ми. Это:
а) пе ре ста нов ка урав не ний;
25
       3.3.3 Решение системы линейных уравнений

      1) Система m линейных уравнений с n неизвестными или, как бу-
дем дальше говорить, система m ´ n, запишется в общем виде так:
       a11 x 1 + a12 x 2 +K+a1 n x n = b1
       a21 x 1 + a22 x 2 +K+a2 n x n = b2
                                                                      (1)
       ..............................
       am1 x 1 + am 2 x 2 +K+amn x n = bm
     Для сокращения этой записи можно использовать следующую
таблицу, которая содержит всю информацию о системе (1).

                           x1       x2        …         xn
                          a11       a12       …        a1 n      b1
                          a21       a22       …        a2 n      b2
                           …        …         …         …        …
                          am1      am 2       …        amn       bm

       Решением системы (1) является любой набор значений неизвест-
ных:
                             x1 = a 1 , x 2 = a 2 , K , x n = a n ,
удовлетворяющий всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни
одного решения, называется несовместной.
       Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными x 1 ,...,
x n называются равносильными, если они имеют одно и то же множество
решений.
       Отметим, что для любой системы (1) возможны только три случая:
       а) система не имеет ни одного решения;
       б) система имеет единственное решение;
       в) система имеет бесчисленное множество решений.
       Множество всех решений системы (1) называется ее общим реше-
нием. Решить систему (1) означает найти ее общее решение.
       Опишем некоторые действия над системой (1), называемые эле-
ментарными преобразованиями. Это:
       а) перестановка уравнений;
                                                                      25

Страницы