Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) вы чер ки ва ние из сис те мы (1) урав не ния вида
0 0 0 0
1
2
x x x
n
+ + + =K
, или, про ще,
0 0=
;
в) ум но же ние обе их час тей од но го из урав не ний сис те мы на чис ло
l ¹ 0
;
г) при бав ле ние к обе им час тям од но го из урав не ний сис те мы со -
от вет ст вую щих час тей дру го го урав не ния, ум но жен ных на одно и то же
число.
На при мер, пусть да на сис те ма
5 3 4
2 6 0
1
2
1
2
x x
x x
- =
- + =
К обе им час тям вто ро го урав не ния при ба вим со от вет ст вую щие
час ти пер во го урав не ния, ум но жен ные на 2, получим систему
5 3 4
8 0
1
2
1
x x
x
- =
=
Не труд но ви деть, что ре ше ния ми сис те мы бу дут
x
1
0=
,
x
2
4
3
= -
.
Оче вид но, что лю бое из эле мен тар ных пре об ра зо ва ний, со вер -
шен ное над сис те мой урав не ний, при во дит к сис те ме, рав но силь ной
исходной системе.
При вы пол не нии эле мен тар ных пре об ра зо ва ний над сис те мой
мо жет воз ник нуть уравнение вида
0 0 0
1
2
x x x b
n
+ + + =K
,
где
b ¹ 0
.
Яс но, что это урав не ние не име ет ре ше ний. Бу дем на зы вать та кое
урав не ние про ти во ре чи вым. Сис те ма, со дер жа щая про ти во ре чи вое
урав не ние, не со вме ст на; за ни мать ся ре ше ни ем та кой сис те мы нет
смыс ла.
Для на хо ж де ния об ще го ре ше ния сис те мы (1) име ет ся про стой и
удоб ный ме тод Га ус са.
2) Ме тод Га ус са
Суть ме то да за клю ча ет ся в том, что с по мо щью эле мен тар ных
пре об ра зо ва ний сис те мы (1) ли бо по лу ча ют сис те му, со дер жа щую про -
ти во ре чи вое урав не ние (и то гда сис те ма (1) ока зы ва ет ся не со вме ст ной),
26
         б) вычеркивание из системы (1) уравнения вида
                  0 x 1 + 0 x 2 +K+0 x n = 0, или, проще, 0 = 0;
         в) умножение обеих частей одного из уравнений системы на число
l ¹ 0;
      г) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы со-
ответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же
число.

         Например, пусть дана система
                                  5 x1 - 3 x 2 = 4
                                -2 x 1 + 6 x 2 = 0
      К обеим частям второго уравнения прибавим соответствующие
части первого уравнения, умноженные на 2, получим систему
                                 5 x1 - 3 x 2 = 4
                                 8 x1 = 0
                                                                   4
     Не трудно видеть, что решениями системы будут x 1 = 0, x 2 = - .
                                                                   3
     Очевидно, что любое из элементарных преобразований, совер-
шенное над системой уравнений, приводит к системе, равносильной
исходной системе.
     При выполнении элементарных преобразований над системой
может возникнуть уравнение вида
                            0 x 1 + 0 x 2 +K+0 x n = b,
где b ¹ 0.
       Ясно, что это уравнение не имеет решений. Будем называть такое
уравнение противоречивым. Система, содержащая противоречивое
уравнение, несовместна; заниматься решением такой системы нет
смысла.
       Для нахождения общего решения системы (1) имеется простой и
удобный метод Гаусса.

     2) Метод Гаусса
     Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных
преобразований системы (1) либо получают систему, содержащую про-
тиворечивое уравнение (и тогда система (1) оказывается несовместной),
26

Страницы