Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

не из вест ных нет (все не из вест ные — ба зис ные), то решение
единственно.
Из ло жим те перь ал го ритм ме то да Га ус са. Для это го да дим опи са -
ние оче ред но го k-го ша га (
k =1 2, ,K
).
Итак, оче ред ной k-й шаг со сто ит из сле дую щих дей ст вий:
1. Из сис те мы, по лу чен ной ра нее (по сле
k -1
пре ды ду щих ша гов)
уда ля ем урав не ния
0 0=
. Ес ли в ос тав шей ся сис те ме име ет ся хо тя бы од -
но про ти во ре чи вое урав не ние, то сис те ма не со вме ст на — ра бо та с ней
пре кра ща ет ся.
2. Пусть про ти во ре чи вых урав не ний не ока за лось. То гда од но из
урав не ний вы би ра ет ся за раз ре шаю щее урав не ние и одно из не из вест -
ных за раз ре шаю щее не из вест ное. К это му вы бо ру предъ яв ля ют ся сле -
дую щие два тре бо ва ния:
•
на пре ды ду щих ша гах это урав не ние не бы ло раз ре шаю щим;
•
в раз ре шаю щем урав не нии ко эф фи ци ент при раз ре шаю щем
не из вест ном дол жен быть от ли чен от ну ля; этот ко эф фи ци ент
на зы ва ют раз ре шаю щим эле мен том.
3. Из всех урав не ний, кро ме раз ре шаю ще го, ис клю ча ем раз ре -
шаю щее не из вест ное. Для это го к ка ж до му из та ких урав не ний при бав -
ля ем раз ре шаю щее урав не ние, ум но жен ное на под хо дя щее чис ло.
Про цесс за кан чи ва ет ся, ес ли ни од но из урав не ний уже нель зя
вы брать за раз ре шаю щее (т.е. все урав не ния пе ре бы ва ли в этой ро ли).
То гда для ка ж до го урав не ния име ет ся свое ба зис ное не из вест ное, вхо -
дя щее в это урав не ние с ко эф фи ци ен том, от лич ным от ну ля, а в ос таль -
ные урав не ния — с ко эф фи ци ен том 0. Та ким об ра зом, про цесс пре кра -
ща ет ся по сле по лу че ния ба зи са не из вест ных. Из полученной системы
находим (как в указанном примере) общее решение.
Раз бе рем не сколь ко при ме ров.
В ка ж дом при ме ре весь про цесс ре ше ния за пи сан в ви де вер ти -
каль ной по сле до ва тель но сти таб лиц. Ка ж до му ша гу ме то да Га ус са со от -
вет ст ву ет пе ре ход от оче ред ной таб ли цы к сле дую щей. Раз ре шаю щие
эле мен ты вы де ле ны жир ным шриф том.
При мер 1.
x x x
x x x
x x x
1
2 3
1
2 3
1
2 3
2 3 2
2
3 2
+ + =
- - = -
+ - = -
28
не из вест ных нет (все не из вест ные — ба зисные), то решение
единственно.
       Изложим теперь алгоритм метода Гаусса. Для этого дадим описа-
ние очередного k-го шага (k =1, 2,K).
       Итак, очередной k-й шаг состоит из следующих действий:
       1. Из системы, полученной ранее (после k -1 предыдущих шагов)
удаляем уравнения 0 = 0. Если в оставшейся системе имеется хотя бы од-
но противоречивое уравнение, то система несовместна — работа с ней
прекращается.
       2. Пусть противоречивых уравнений не оказалось. Тогда одно из
уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвест-
ных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются сле-
дующие два требования:
     • на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим;
     • в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем
       неизвестном должен быть отличен от нуля; этот коэффициент
       называют разрешающим элементом.
      3. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разре-
шающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибав-
ляем разрешающее уравнение, умноженное на подходящее число.
      Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя
выбрать за разрешающее (т.е. все уравнения перебывали в этой роли).
Тогда для каждого уравнения имеется свое базисное неизвестное, вхо-
дящее в это уравнение с коэффициентом, отличным от нуля, а в осталь-
ные уравнения — с коэффициентом 0. Таким образом, процесс прекра-
щается после получения базиса неизвестных. Из полученной системы
находим (как в указанном примере) общее решение.
      Разберем несколько примеров.
      В каждом примере весь процесс решения записан в виде верти-
кальной последовательности таблиц. Каждому шагу метода Гаусса соот-
ветствует переход от очередной таблицы к следующей. Разрешающие
элементы выделены жирным шрифтом.

     Пример 1.

                          x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 2
                          x 1 - x 2 - x 3 = -2
                          x 1 + 3 x 2 - x 3 = -2

28

Страницы