Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ли бо сис те ма (1) при во дит ся к не ко то ро му спе ци аль но му ви ду. Осо бен -
ность это го ви да за клю ча ет ся в том, что для ка ж до го урав не ния име ет ся
не из вест ное, ко то рое вхо дит в это урав не ние с ко эф фи ци ен том, не рав -
ным ну лю, а в ос таль ные урав не ния — с ко эф фи ци ен том 0. Ес ли для ка -
ж до го урав не ния за фик си ро ва но та кое не из вест ное, то это не из вест ное
на зы ва ет ся ба зис ным, а весь на бор ба зис ных не из вест ных — ба зи сом не -
из вест ных. Ос таль ные не из вест ные (ес ли они име ют ся) на зы ва ют ся
сво бод ны ми.
При мер:
2 5 7
3 4 3 2
2 8
1
2 3 6
1
3 5 6
1
3 4 6
x x x x
x x x x
x x x x
+ - + =
+ + - = -
- + - =
(2)
Здесь х
2
, х
4
, х
5
— ба зис ные не из вест ные, х
1
, х
3
, х
6
— сво бод ные не -
из вест ные. За ме тим, что ко эф фи ци ен ты при ба зис ных не из вест ных в
со от вет ст вую щих урав не ни ях сис те мы (2) рав ны 1. В об щем слу чае это
не обя за тель но, но мож но это го до бить ся с по мо щью эле мен тар но го
пре об ра зо ва ния ти па 4. Пе ре пи сав сис те му (2) в ви де:
x x x x
x x x x
x x x x
2
1
3 6
5
1
3 6
4
1
3 6
7 2 5
2 3 4 3
8 2
= - + -
= - - - +
= - + +
, (3)
(в ле вых час тях сис те мы сто ят ба зис ные не из вест ные, в пра вых час тях —
сво бод ные не из вест ные), по лу ча ем фак ти че ски об щее ре ше ние. Дей ст -
ви тель но, урав не ния (3) по ка зы ва ют, что вме сто сво бод ных не из вест -
ных
x x x
1
3 6
, ,
мож но под ста вить лю бые чис ла и за тем най ти из урав не -
ний (3) зна че ния ба зис ных не из вест ных х
2
, х
4
, х
5
. На при мер, взяв
x
1
= 0,
x
3
1=
,
x
6
2=
, най дем
x
2
10=
,
x
4
13=
,
x
5
0=
, а зна чит, по лу чим кон крет -
ное (ча ст ное) ре ше ние
x
1
0= ,
x
2
10=
,
x
3
1=
,
x
4
13=
,
x
5
0=
,
x
6
2=
.
Та ким об ра зом, за пись сис те мы в ви де (3) по зво ля ет не по сред ст -
вен но по лу чить лю бое ча ст ное ре ше ние сис те мы; в этом смыс ле за пись
(3) мож но считать общим решением.
Оче вид но, что при на ли чии хо тя бы од но го сво бод но го не из вест -
но го сис те ма име ет бес чис лен ное мно же ст во ре ше ний. Ес ли сво бод ных
27
либо система (1) приводится к некоторому специальному виду. Особен-
ность этого вида заключается в том, что для каждого уравнения имеется
неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, не рав-
ным нулю, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Если для ка-
ждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное
называется базисным, а весь набор базисных неизвестных — базисом не-
известных. Остальные неизвестные (если они имеются) называются
свободными.

      Пример:
      2 x1 + x 2 - 5 x 3 + x 6 = 7
      3 x 1 + 4 x 3 + x 5 - 3 x 6 = -2                                      (2)
      x1 - x 3 + x 4 - 2 x 6 = 8

      Здесь х2, х4, х5 — базисные неизвестные, х1, х3, х6 — свободные не-
известные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных в
соответствующих уравнениях системы (2) равны 1. В общем случае это
необязательно, но можно этого добиться с помощью элементарного
преобразования типа 4. Переписав систему (2) в виде:
      x 2 = 7 - 2 x1 + 5 x 3 - x 6
      x 5 = -2 - 3 x 1 - 4 x 3 + 3 x 6 ,                                    (3)
      x 4 = 8 - x1 + x 3 + 2 x 6

(в левых частях системы стоят базисные неизвестные, в правых частях —
свободные неизвестные), получаем фактически общее решение. Дейст-
вительно, уравнения (3) показывают, что вместо свободных неизвест-
ных x 1 , x 3 , x 6 можно подставить любые числа и затем найти из уравне-
ний (3) значения базисных неизвестных х2, х4, х5. Например, взяв x 1 = 0,
x 3 = 1, x 6 = 2, найдем x 2 = 10, x 4 = 13, x 5 = 0, а значит, получим конкрет-
ное (частное) решение

                 x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 1, x 4 = 13, x 5 = 0, x 6 = 2.

      Таким образом, запись системы в виде (3) позволяет непосредст-
венно получить любое частное решение системы; в этом смысле запись
(3) можно считать общим решением.
      Очевидно, что при наличии хотя бы одного свободного неизвест-
ного система имеет бесчисленное множество решений. Если свободных
                                                                             27

Страницы