Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 27 стр.

либо система (1) приводится к некоторому специальному виду. Особен-
ность этого вида заключается в том, что для каждого уравнения имеется
неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, не рав-
ным нулю, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Если для ка-
ждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное
называется базисным, а весь набор базисных неизвестных — базисом не-
известных. Остальные неизвестные (если они имеются) называются
свободными.

      Пример:
      2 x1 + x 2 - 5 x 3 + x 6 = 7
      3 x 1 + 4 x 3 + x 5 - 3 x 6 = -2                                      (2)
      x1 - x 3 + x 4 - 2 x 6 = 8

      Здесь х2, х4, х5 — базисные неизвестные, х1, х3, х6 — свободные не-
известные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных в
соответствующих уравнениях системы (2) равны 1. В общем случае это
необязательно, но можно этого добиться с помощью элементарного
преобразования типа 4. Переписав систему (2) в виде:
      x 2 = 7 - 2 x1 + 5 x 3 - x 6
      x 5 = -2 - 3 x 1 - 4 x 3 + 3 x 6 ,                                    (3)
      x 4 = 8 - x1 + x 3 + 2 x 6

(в левых частях системы стоят базисные неизвестные, в правых частях —
свободные неизвестные), получаем фактически общее решение. Дейст-
вительно, уравнения (3) показывают, что вместо свободных неизвест-
ных x 1 , x 3 , x 6 можно подставить любые числа и затем найти из уравне-
ний (3) значения базисных неизвестных х2, х4, х5. Например, взяв x 1 = 0,
x 3 = 1, x 6 = 2, найдем x 2 = 10, x 4 = 13, x 5 = 0, а значит, получим конкрет-
ное (частное) решение

                 x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 1, x 4 = 13, x 5 = 0, x 6 = 2.

      Таким образом, запись системы в виде (3) позволяет непосредст-
венно получить любое частное решение системы; в этом смысле запись
(3) можно считать общим решением.
      Очевидно, что при наличии хотя бы одного свободного неизвест-
ного система имеет бесчисленное множество решений. Если свободных
                                                                             27