Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 4. По ка жем, что в
R
3
сис те ма век то ров
r
a
1
1 1 2= -( , , )
,
r
a
2
2 1 0= ( , , )
,
r
a
3
4 1 1= -( , , )
об ра зу ет ба зис и най дем в этом ба зи се ко ор ди на -
ты век то ра
r
c = ( , , )2 1 3
.
Для то го что бы до ка зать, что сис те ма век то ров
a a a
1
2 3
, ,
об ра зу ет
ба зис, на до убе дить ся в ли ней ной не за ви си мо сти этих век то ров и в том,
что лю бой век тор
b b b b= ( , , )
1
2 3
, при над ле жа щий
R
3
, яв ля ет ся их
линейной комбинацией.
В стан дарт ном ба зи се e в
R
3
век то ры
a a a b c
1
2 3
, , , ,
име ют сле дую щие
столб цы ко ор ди нат:
a a a
1
2 3
1
1
2
2
1
0
4
1
1
= -
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
= -
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
, ,
÷
÷
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
, , .b
b
b
b
c
1
2
3
2
1
3
Из столб цов ко ор ди нат век то ров
a a a
1
2 3
, ,
со ста вим мат ри цу
A = - -
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
1 2 4
1 1 1
2 0 1
и рас смот рим квад рат ную сис те му ли ней ных ал геб раи че ских урав не ний
(СЛАУ)
Ax b=
,
x x x x
T
= ( ) .
1
2 3
Так как
det A = -9
, то мат ри ца A не вы ро ж -
ден ная, ее ранг ра вен 3, и все ее столб цы яв ля ют ся ба зис ны ми. По это -
му, во-пер вых, эти столб цы ли ней но не за ви си мы, что оз на ча ет ли ней -
ную не за ви си мость век то ров
a a a
1
2 3
, ,
, а во-вто рых, СЛАУ
Ax b=
при лю -
бом столб це b пра вых час тей име ет ре ше ние
x x x x
T
=
¢ ¢ ¢
( )
1
2 3
, что по сле
за пи си этой СЛАУ в век тор ной фор ме
a x a x a x b
1 1
2 2 3 3
+ + =
по зво ля ет
сде лать вы вод о вы пол не нии ра вен ст ва
¢
+
¢
+
¢
=x a x a x a b
1 1
2 2 3 3
.
В ча ст но сти, ре шив СЛАУ
Ax c=
, ко то рая в ко ор ди нат ной фор ме
име ет вид
x x x
x x x
x x
1
2 3
1
2 3
1
3
2 4 2
1
2 3
+ + =
- + - =
+ = ,
на хо дим ко ор ди на ты век то ра с в ба зи се (
a a a
1
2 3
):
x
1
= 2,
x
2
2=
,
x
3
1= -
.
24
                                                                    r
       Пример 4. Покажем, что в R 3 система векторов a1 = (1, -1, 2),
r               r
a2 = (2, 1, 0), a3 = (4, -1, 1) образует базис и найдем в этом базисе координа-
                r
ты вектора c = (2, 1, 3).
       Для того чтобы доказать, что система векторов a1 ,a2 ,a3 образует
базис, надо убедиться в линейной независимости этих векторов и в том,
что любой вектор b = (b1 , b2 , b3 ), принадлежащий R 3 , является их
линейной комбинацией.
     В стандартном базисе e в R 3 векторы a1 ,a2 ,a3 , b,c имеют следующие
столбцы координат:

                    æ 1 ö        æ2 ö        æ 4ö        æ b1   ö      æ2 ö
                    ç ÷          ç ÷         ç ÷         ç      ÷      ç ÷
               a1 = ç -1 ÷, a2 = ç 1 ÷, a3 = ç -1 ÷, b = ç b2   ÷, c = ç 1 ÷.
                    ç2 ÷         ç0÷         ç 1 ÷       çb     ÷      ç3÷
                    è ø          è ø         è ø         è 3    ø      è ø

      Из столбцов координат векторов a1 ,a2 ,a3 составим матрицу

                                      æ 1 2 4ö
                                      ç         ÷
                                  A = ç -1 1 -1 ÷
                                      ç2 0 1 ÷
                                      è         ø

и рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) Ax = b, x = ( x 1 x 2 x 3 )T . Так как det A = -9, то матрица A невырож-
денная, ее ранг равен 3, и все ее столбцы являются базисными. Поэто-
му, во-первых, эти столбцы линейно независимы, что означает линей-
ную независимость векторов a1 ,a2 ,a3 , а во-вторых, СЛАУ Ax = b при лю-
бом столбце b правых частей имеет решение x = ( x 1¢ x 2¢ x 3¢ )T , что после
записи этой СЛАУ в векторной форме a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 = b позволяет
сделать вывод о выполнении равенства x 1¢ a1 + x 2¢ a2 + x 3¢ a3 = b.
      В частности, решив СЛАУ Ax = c, которая в координатной форме
имеет вид
                                 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 2
                                 - x1 + x 2 - x 3 = 1
                                2 x 1 + x 3 = 3,

находим координаты вектора с в базисе (a1 a2 a3 ): x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = -1.

24

Страницы