Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

на ком пла нар но сти трех век то ров. Но, кро ме то го, мы зна ем, что лю бой
век тор в про стран ст ве мож но вы ра зить че рез про из воль ные три не ком -
пла на ра ных век то ра в ви де их ли ней ной ком би на ции. Три ком пла нар -
ных век то ра не мо гут быть ба зи сом в трех мер ном про стран ст ве, так как
лю бая ли ней ная ком би на ция та ких век то ров даст вектор, им
компланарный.
В ли ней ном про стран ст ве раз ло же ние лю бо го век то ра по дан но му
ба зи су единственно.
Дей ст ви тель но, вы бе рем в ли ней ном про стран ст ве про из воль ный
ба зис
b b
n
1
, ,K
и пред по ло жим, что век тор х име ет в этом ба зи се два раз -
ло же ния
x x b x b
x x b x b
n n
n n
= +
=
¢
+ +
¢
1 1
1 1
K
K
,
.
Вос поль зу ем ся тем, что ак сио мы ли ней но го про стран ст ва по зво -
ля ют пре об ра зо вы вать ли ней ные ком би на ции так же, как и обыч ные
ал геб раи че ские вы ра же ния. Вы чи тая за пи сан ные равенства почленно,
получим
( ) ( )x x b x x b
n n n
1 1 1
0-
¢
+ + -
¢
=K
.
Так как ба зис — это ли ней но не за ви си мая сис те ма век то ров, то ее
ли ней ная ком би на ция рав на 0, ко гда она три ви аль ная . Зна чит, все ко -
эф фи ци ен ты этой ли ней ной ком би на ции рав ны ну лю:
x x
1 1
0-
¢
=
,...,
x x
n n
-
¢
= 0
. Та ким об ра зом,
x x
1 1
=
¢
, ...,
x x
n n
=
¢
и два раз ло же ния век то ра х
в ба зи се
b b
n
1
, ,K
сов па да ют.
Ус ло вие ли ней ной не за ви си мо сти век то ров ба зи са оз на ча ет, что
ну ле вой век тор име ет в этом ба зи се един ст вен ное раз ло же ние, а имен но
три ви аль ное: все ко эф фи ци ен ты это го раз ло же ния рав ны ну лю. Из
един ст вен но сти раз ло же ния ну ле во го век то ра по дан ной сис те ме век то -
ров вытекает единственность разложения любого другого вектора.
Со глас но дан но му оп ре де ле нию, ба зис яв ля ет ся упо ря до чен ной
сис те мой век то ров. Это зна чит, что, из ме нив порядок век то ров в сис те -
ме, мы по лу чим дру гой ба зис. По ря док век то ров в ба зи се фик си ру ют
для то го, что бы за дать оп ре де лен ный по ря док ко эф фи ци ен тов раз ло же -
ния про из воль но го век то ра. Это по зво ля ет за ме нить ли ней ную ком би -
на цию, пред став ляю щую век тор, упо ря до чен ным на бо ром ее ко эф фи -
ци ен тов и тем са мым уп ро стить запись. Порядок векторов в базисе
определяется их нумерацией.
20
на компланарности трех векторов. Но, кроме того, мы знаем, что любой
вектор в пространстве можно выразить через произвольные три неком-
планараных вектора в виде их линейной комбинации. Три компланар-
ных вектора не могут быть базисом в трехмерном пространстве, так как
лю бая ли ней ная комби на ция та ких век торов даст вектор, им
компланарный.
      В линейном пространстве разложение любого вектора по данному
базису единственно.
      Действительно, выберем в линейном пространстве произвольный
базис b1 ,K, bn и предположим, что вектор х имеет в этом базисе два раз-
ложения
                                 x = x 1 b1 +K x n bn ,
                                 x = x 1¢ b1 +K+ x n¢ bn .

      Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позво-
ляют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные
алгебраические выражения. Вычитая записанные равенства почленно,
получим
                         ( x 1 - x 1¢ )b1 +K+( x n - x n¢ )bn = 0.
          Так как базис — это линейно независимая система векторов, то ее
линейная комбинация равна 0, когда она тривиальная . Значит, все ко-
эффициенты этой линейной комбинации равны нулю: x 1 - x 1¢ = 0 ,...,
x n - x n¢ = 0. Таким образом, x 1 = x 1¢ , ..., x n = x n¢ и два разложения вектора х
в базисе b1 ,K, bn совпадают.
          Условие линейной независимости векторов базиса означает, что
нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно
тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю. Из
единственности разложения нулевого вектора по данной системе векто-
ров вытекает единственность разложения любого другого вектора.
          Согласно данному определению, базис является упорядоченной
системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в систе-
ме, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют
для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложе-
ния произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комби-
нацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффи-
циентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе
определяется их нумерацией.
20

Страницы