Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер. Рас смот рим сис те му из век то ров
a
b
c
n
n
n
=
=
=
( , , , )
( , , , , )
( , , , , )
a a a a
b b b
g g
1
2 3
2 3
3
0
0 0
K
K
K
,
где
a b g
i j k
, , ,K
обо зна ча ют ка кие-то чис ла.
При чем
a b g
1
2 3
, , ,K
(чис ла, стоя щие на «диа го на ли») от лич ны от
ну ля. Та кая сис те ма век то ров на зы ва ет ся ле ст нич ной. По нят но, что
чис ло век то ров в ле ст нич ной сис те ме не пре вос хо дит n (чис ло ко ор ди -
нат в ка ж дом век то ре).
До ка жем, что лю бая ле ст нич ная сис те ма век то ров ли ней но не за ви -
си ма.
Пред по ло жим про тив ное. То гда один из дан ных век то ров дол жен
ли ней но вы ра жать ся че рез ос таль ные. Пусть, на при мер, a ли ней но вы -
ра жа ет ся че рез b,c ,...:
a kb lc= + +K
Но та кое ра вен ст во не воз мож но, по сколь ку пер вая ко ор ди на та
век то ра а от лич на от ну ля, а пер вая ко ор ди на та век то ра
kb lc+ +K
рав на
ну лю. По лу чен ное про ти во ре чие до ка зы ва ет, что сис те ма a,b,c,... ли -
ней но не за ви си ма.
Оп ре де ле ние 4. Век то ры а и b на зы ва ют ся кол ли не ар ны ми, ес ли
a kb=
или
b ka=
.
Ес ли один из век то ров а или b ра вен ну лю, то та кие век то ры за ве -
до мо кол ли не ар ны. Если, на при мер,
a = 0
, то име ем
a b= ×0
.
Прак ти че ски рас по знать кол ли не ар ность со всем про сто: ко ор ди -
на ты
a a
n
1
,K
век то ра a долж ны быть про пор цио наль ны ко ор ди на там
b b
n
1
,K
век то ра b.
При мер кол ли не ар ных век то ров да ет лю бая таб ли ца об мен ных
кур сов ва лют.
Что бы луч ше «про чув ст во вать» смысл по ня тия ли ней ной за ви си -
мо сти, об ра тим ся к век то рам из
R
3
.
1. Пусть да на сис те ма из двух век то ров a и b. Ес ли сис те ма ли ней -
но за ви си ма, то один из век то ров, до пус тим a, ли ней но вы ра жа ет ся че -
рез дру гой:
a kb=
.
17
      Пример. Рассмотрим систему из векторов
                          a = (a 1 ,a 2 ,a 3 K,a n )
                          b = (0, b 2 ,b 3 ,K,b n ) ,
                          c = (0, 0, g 3 ,K, g n )

где a i ,b j , g k ,K обозначают какие-то числа.
        Причем a 1 ,b 2 , g 3 ,K (числа, стоящие на «диагонали») отличны от
нуля. Такая система векторов называется лестничной. Понятно, что
число векторов в лестничной системе не превосходит n (число коорди-
нат в каждом векторе).
        Докажем, что любая лестничная система векторов линейно незави-
сима.
        Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен
линейно выражаться через остальные. Пусть, например, a линейно вы-
ражается через b,c,...: a = kb + lc +K
        Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата
вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора kb + lc +K равна
нулю. Полученное противоречие доказывает, что система a,b,c,... ли-
нейно независима.

       Определение 4. Векторы а и b называются коллинеарными, если
a = kb или b = ka.
       Если один из векторов а или b равен нулю, то такие векторы заве-
домо коллинеарны. Если, например, a = 0, то имеем a = 0 × b.
       Практически распознать коллинеарность совсем просто: коорди-
наты a1 ,Kan вектора a должны быть пропорциональны координатам
b1 ,K bn вектора b.
       Пример коллинеарных векторов дает любая таблица обменных
курсов валют.

      Чтобы лучше «прочувствовать» смысл понятия линейной зависи-
мости, обратимся к векторам из R 3 .
      1. Пусть дана система из двух векторов a и b. Если система линей-
но зависима, то один из векторов, допустим a, линейно выражается че-
рез другой:

                                    a = kb.
                                                                        17

Страницы