Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оп ре де ле ние 2. Сис те ма век то ров
a a a
s
1
2
, , ,K
из
R
n
на зы ва ет ся ли -
ней но за ви си мой, ес ли су ще ст ву ют та кие чис ла
c c c
s
1
2
, , ,K
, не рав ные од -
но вре мен но ну лю, что спра вед ли во ра вен ст во
c
1
a
1
+
c a
2 2
+... +
c a
s s
= 0. (2)
В ча ст но сти, сис те ма
a a a
1
2 3
, ,
из пре ды ду ще го при ме ра ли ней но
зависима.
Оп ре де ле ние 3. Ес ли сис те ма век то ров
a a a
s
1
2
, , ,K
та ко ва, что ра -
вен ст во (2) воз мож но толь ко при
c
1
=
c
2
= ... =
c
s
= 0,то эта сис те ма на -
зы ва ет ся ли ней но не за ви си мой.
Пе ре чис лим ряд свойств ли ней ной за ви си мо сти.
1. Сис те ма из од но го век то ра a ли ней но за ви си ма :
a =0
.
До ка за тель ст во. Пусть сис те ма {а}, со стоя щая из од но го век то -
ра а, ли ней но за ви си ма. То гда най дет ся чис ло
c ¹0
, та кое, что
ca =0
.
Ум но жим обе час ти это го ра вен ст ва (оба век то ра) на чис ло
c
-1
.
По лу чим
c ca c
- -
= ×
1 1
0( )
или
( )c c a
-1
= 0. Та ким об ра зом,
1 0× =a
или
a =0
. Об рат но, ес ли век тор a ра вен 0, то оче вид ное ра вен ст во
1 0× =a
по -
ка зы ва ет, что сис те ма {a} ли ней но за ви си ма.
2. Сис те ма, со дер жа щая бо лее од но го век то ра, ли ней но за ви си ма
в том и толь ко в том слу чае, ко гда сре ди дан ных век то ров име ет ся та кой,
ко то рый ли ней но вы ра жа ет ся че рез ос таль ные.
До ка за тель ст во. Пусть сре ди дан ных век то ров
a a a
s
1
2
, , ,K
име ет ся
та кой, на при мер, век тор а, ко то рый ли ней но вы ра жа ет ся че рез ос таль -
ные:
a k a k a
s s
1
2 2
= + +K .
При бав ляя к обе им час тям ра вен ст ва век тор
( )-a
по лу чим:
- + + + =a k a k a
s s
1
2 2
0K
,
т.е. ли ней ная ком би на ция век то ров
a a a
s
1
2
, , ,K
рав на ну лю, при чем сре -
ди ко эф фи ци ен тов име ют ся ко эф фи ци ен ты, не рав ные ну лю (ко эф фи -
ци ент при
a
1
ра вен
-1
). Сле до ва тель но, сис те ма
a a a
s
1
2
, , ,K
ли ней но за -
ви си ма.
15
      Определение 2. Система векторов a1 ,a2 ,K,as из R n называется ли-
нейно зависимой, если существуют такие числа c1 ,c 2 ,K,c s , неравные од-
новременно нулю, что справедливо равенство
      c1 a1 + c 2 a2 +... + c s as = 0.                                      (2)
     В частности, система a1 ,a2 ,a3 из предыдущего примера линейно
зависима.

      Определение 3. Если система векторов a1 ,a2 ,K,as такова, что ра-
венство (2) возможно только при c1 = c 2 = ... = c s = 0,то эта система на-
зывается линейно независимой.

      Перечислим ряд свойств линейной зависимости.

       1. Система из одного вектора a линейно зависима : a = 0.
       Доказательство. Пусть система {а}, состоящая из одного векто-
ра а, линейно зависима. Тогда найдется число c ¹ 0, такое, что ca = 0.
       Умножим обе части этого равенства (оба вектора) на число c -1 .
       Получим c -1 (ca) = c -1 × 0 или (c -1 c)a= 0. Таким образом, 1× a = 0 или
a = 0. Обратно, если вектор a равен 0, то очевидное равенство 1× a = 0 по-
казывает, что система {a} линейно зависима.

      2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима
в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой,
который линейно выражается через остальные.
      Доказательство. Пусть среди данных векторов a1 ,a2 ,K,as имеется
такой, например, вектор а, который линейно выражается через осталь-
ные:

                                   a1 = k2 a2 +K+ks as .

      Прибавляя к обеим частям равенства вектор (-a) получим:

                                -a1 + k2 a2 +K+ks as = 0,

т.е. линейная комбинация векторов a1 ,a2 ,K,as равна нулю, причем сре-
ди коэффициентов имеются коэффициенты, не равные нулю (коэффи-
циент при a1 равен -1). Следовательно, система a1 ,a2 ,K,as линейно за-
висима.
                                                                              15

Страницы