Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пра ви ла поль зо ва ния опе ра то ром
r
Ñ:
( )
div[ ] [ ] [ ] [ ] [
r r r r r r r r r r r r r
F F F F F F F F F
1
2
1
2
1
2
1
2
= Ñ = Ñ +Ñ = Ñ
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
r r r r
r r r r r r r r
F F F
F F F F F F
] [ ]
rot
-Ñ =
= Ñ - Ñ = -[ ] [ ]
r r
F F
1
2
rot .
rot rotj j j j j j
r r r r r r r r r
F F F F F F= Ñ = Ñ + Ñ = Ñ +[ ] [ ] [ ] [ ]
.
3) По тен ци аль ное по ле
Век тор ное по ле
r
F
на зы ва ет ся по тен ци аль ным, ес ли оно яв ля ет ся
гра ди ен том не ко то ро го ска ляр но го поля
j:
r r r
r
F
x
i
y
j
z
k= -Ñ = -
-
-
j
j j j
.
Знак «ми нус» вы бран для удоб ст ва, так как век тор ные ли нии
r
F
обыч но на прав ле ны в сто ро ну убы ва ния
j
.
j
на зы ва ет ся по тен циа лом по ля
r
F
или по тен ци аль ной функ ци -
ей — это по верх ность рав но го значения.
Оче вид но, что
j
оп ре де ле на с точ но стью до по сто ян но го мно жи -
те ля. Обыч но при ни ма ют зна че ние
j = 0
на бес ко неч но сти. Раз ность
зна че ний по тен циа ла в двух точ ках не за ви сит от этой не од но знач но сти,
так как константы сокращаются.
Про из воль ное век тор ное по ле за да ет ся тре мя ска ляр ны ми ве ли -
чи на ми-про ек ция ми. А по тен ци аль ное по ле за да ет ся од ной ска ляр ной
функцией-потенциалом.
Для то го, что бы век тор ное по ле
r
F
бы ло по тен ци аль ным не об хо -
ди мо и дос та точ но, что бы оно бы ло без вих ре вым, то есть
rot
r
F = 0.
За ме тим, что
r
r
Fd r
ò
— это ра бо та по замк ну то му кон ту ру. Зна чит,
век тор ное по ле бу дет по тен ци аль ным, ес ли ра бо та по ля вдоль лю бой
замк ну той кри вой рав на ну лю:
r
r
Fdr
ò
= 0
.
4) Со ле нои даль ное по ле
По ле век то ра
r
F
на зы ва ет ся со ле нои даль ным или труб ча тым, ес -
ли в по ле нет ис точ ни ков и сто ков, то есть
div
r
F = 0.
На при мер,
divrot
r
F = 0,
то есть век тор ное по ле вих рей яв ля ет ся со -
ле нои даль ным.
13
                                                   r
      Правила пользования оператором Ñ:
          r r          r r r       r r r         r r r      r r r      r r r
                    (          )
      div[F1 F 2 ] = Ñ[F1 F 2 ] = Ñ[F1 F 2 ] +Ñ[F1 F 2 ] = Ñ[F1 F 2 ] -Ñ[F1 F 2 ] =
                      rr r       rr r       r      r    r     r
                   = [ÑF1 ]F 2 -[ÑF 2 ]F1 = F 2 rotF1 - F1 rotF 2 .
                    r r r         r r      rr        r         r
               rotj F = [ÑjF ] = [ÑjF ] +[jÑF ] = [ÑjF ] + jrotF .

      3) Потенциальноеrполе
      Векторное поле F называется потенциальным, если оно является
градиентом некоторого скалярного поля j:
                      r          ¶j r ¶j r ¶j r
                      F = -Ñj = - i -      j - k.
                                 ¶x     ¶y      ¶z
                                                                        r
      Знак «минус» выбран для удобства, так как векторные линии F
обычно направлены в сторону убыванияrj.
      j называется потенциалом поля F или потенциальной функци-
ей — это поверхность равного значения.
      Очевидно, что j определена с точностью до постоянного множи-
теля. Обычно принимают значение j = 0 на бесконечности. Разность
значений потенциала в двух точках не зависит от этой неоднозначности,
так как константы сокращаются.
      Произвольное векторное поле задается тремя скалярными вели-
чинами-проекциями. А потенциальное поле задается одной скалярной
функцией-потенциалом.                   r
      Для того, чтобы векторное поле F было потенциальным       r необхо-
димо и достаточно, что бы
                     r r  оно бы ло безвих  ре вым, то есть rotF = 0.
      Заметим, что ò Fdr — это работа по замкнутому контуру. Значит,
векторное поле будет потенциальr ным,   если работа поля вдоль любой
                                  r
замкнутой кривой равна нулю: ò Fdr = 0 .

      4) Соленоидальное
                     r поле
      Поле вектора F называется соленоидаль    r ным или трубчатым, ес-
ли в поле нет источников и стоков, то есть divF = 0.
                        r
      Например, divrot F = 0, то есть векторное поле вихрей является со-
леноидальным.
                                                                                      13

Страницы