Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Да лее при ме ним тео ре му Гри на-Ост ро град ско го:
A
F
x
F
y
dxdy
k
y
x
S
r
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
òò
. И на ко нец, при ме ним тео ре му о сред нем, по лу -
чим:
A
F
x
F
y
S
k
y
x
r
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
,
так как
dS S
S
òò
=
.
Та ким об ра зом:
A
F
x
F
y
F
k
y
x
n
k
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
= ( )rot
r
r
.
Ана ло гич но на хо дим про ек ции на на прав ле ния
r
i
и
r
j
.
В ито ге по лу ча ем:
rot
r r r
F
F
y
F
z
i
F
z
F
x
j
z
y
x
z
=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
F
x
F
y
k
y
x
r
.
Или сим во ли че ски:
rot
r
r r
r
F
i j k
x y z
F F F
x y z
=
.
То есть фор му ла Сто кса мо жет быть за пи са на так:
r
r
r r
Fd r Fd S
L S
ò òò
= rot
.
е) Об щие фор му лы
gradj
j j j
j=
+
+
= Ñ
r r
r
r
i
x
j
y
k
z
;
div
r r r
F
x
F
y
F
z
F F
x y z
=
+
+
= Ñ( )
;
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ + = Ñ
x
i
y
j
z
k i F jF kF F
x y z
r r
r
r r
r
r r
( ) ( )
;
rot
r
r r
r
r r
F
i j k
x y z
F F F
F
x y z
=
= Ñ[ ]
.
11
        Да лее       при ме ним               тео ре му           Гри на-Ост ро град ско го:
         æ ¶F y ¶F x ö
Akr = òò ç     -       ÷dxdy . И наконец, применим теорему о среднем, полу-
         ç ¶x     ¶y ÷ø
       S è

            æ ¶F y ¶F x ö
чим: Akr = ç       -      ÷S , так как dS = S .
                                           òòS
            ç ¶x      ¶ y ÷
            è             ø
                                    æ ¶F y ¶F x ö              r
        Таким образом: Ak = ç               -        ÷ = (rotF ) nr .
                                    ç ¶x         ¶y ÷ø             k
                                    è
                                                                         r r
        Аналогично находим проекции на направления i и j .
        В итоге получаем:
                 r æ ¶F ¶F y ö r æ ¶F ¶F z ö r æ ¶F y ¶F ö r
             rotF = ç z -             ÷i + ç x -            ÷ j +ç        x ÷
                                                            ÷ ç ¶x - ¶y ÷ k .
                     ç ¶y       ¶ z   ÷ ç ¶z            ¶ x
                     è                ø è                   ø è              ø
                                               r      r      r
                                               i       j    k
                                        r ¶           ¶     ¶
        Или символически: rotF =                                .
                                              ¶x ¶y ¶z
                                              Fx F y F z
       То есть формула Стокса может быть записана так:
                             r r          r r
                           ò Fdr = òò rotFdS  .
                                   L         S


       е) Общие формулы
                                   r ¶j r ¶j r ¶j r
                           gradj = i    +j    +k    = Ñj;
                                     ¶x    ¶y    ¶z
                           r ¶      ¶     ¶       rr
                        divF = F x + F y + F z = (ÑF );
                              ¶x    ¶y    ¶z
                   æ ¶ r ¶ r ¶ rör             r       r         rr
                   çç i +     j + k ÷÷(i F x + j F y + kF z ) = (ÑF );
                    è ¶x  ¶y     ¶z ø
                                    r    r      r
                                   i     j     k
                               r ¶       ¶     ¶       rr
                           rotF =                   = [ÑF ].
                                   ¶x ¶y ¶z
                                   Fx F y F z

                                                                                         11

Страницы