Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пре дел этой сум мы при
D
r
S
i
® 0
на зы ва ет ся по то ком
P
век то ра
r
a
,
че рез по верх ность S
P D
D
= =
®
=
å
òò
lim ( )
S
i i
i
k
S
i
a S adS
0
1
r
r
r
r
.
Это по верх но ст ный ин те грал вто ро го ро да. Так как
dS ndS
r
r
= ,
то:
r
r
r r
adS an dS
S S
òò òò
= ( )
,
где
( , )
r r
a n
ска ляр ное про из ве де ние.
Та ким об ра зом, по ток век то ра есть ска ляр ная ве ли чи на.
Пусть по ток век то ра про хо дит че рез замк ну тую по верх ность. Так
как нор маль ме ня ет свое на прав ле ние, то по ток со сто ит из по ло жи тель -
ной и от ри ца тель ной час тей. Ес ли
P > 0
, то это зна чит, что в замк ну том
объ е ме
V
есть ис точ ни ки век тор но го по ля. Ес ли
P< 0
, то это зна чит, что
в замк ну том объ е ме
V
есть сто ки. Ес ли
P = 0,
то это зна чит, что внут ри
объ е ма
V
источники и стоки компенсируют друг друга.
б) Ди вер ген ция по ля
Что бы оп ре де лить плот ность ис точ ни ков и сто ков по ля в дан ной
точ ке, возь мем от но ше ние по то ка век тор но го по ля к объ е му, ог ра ни -
чен но му по верх но стью S:
P
V
adS
V
S
=
òò
r
r
.
Пре дел это го от но ше ния при
V ® 0
на зы ва ет ся ди вер ген ци ей или
рас хо ди мо стью по ля в дан ной точ ке:
div
r
r
r
a
adS
V
V
S
=
®
òò
lim
0
.
По тео ре ме Га ус са-Ост ро град ско го:
( )a d ydz a dzdx a d xdy
a
x
a
y
a
z
x y z
S
x
y
z
+ + =
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
òò
÷
=
òòò
dxdydz
S
или, при ме няя тео ре му о сред нем:
7
                             r                                    r
      Предел этой суммы при DS i ® 0 называется потоком P вектора a,
через поверхность S
                             k r    r         r r
                     P = lim å(ai DS i ) = òò adS .
                             D S i ®0
                                        i =1                   S
                                                       r r
     Это поверхностный интеграл второго рода. Так как dS = ndS , то:
                           r r       rr
                        òò adS = òò (an)dS ,
                               S               S
     r r
где (a , n) скалярное произведение.
        Таким образом, поток вектора есть скалярная величина.
        Пусть поток вектора проходит через замкнутую поверхность. Так
как нормаль меняет свое направление, то поток состоит из положитель-
ной и отрицательной частей. Если P > 0, то это значит, что в замкнутом
объеме V есть источники векторного поля. Если P< 0, то это значит, что
в замкнутом объеме V есть стоки. Если P = 0, то это значит, что внутри
объема V источники и стоки компенсируют друг друга.

      б) Дивергенция поля
      Чтобы определить плотность источников и стоков поля в данной
точке, возьмем отношение потока векторного поля к объему, ограни-
ченному поверхностью S:
                                   r r
                                òò adS
                            P S
                              =        .
                           V       V
     Предел этого отношения при V ® 0 называется дивергенцией или
расходимостью поля в данной точке:
                                        r r
                                     òò adS
                            r
                         diva = lim S       .
                                V ®0    V
     По теореме Гаусса-Остроградского:
                                                       æ ¶ax           ¶a y       ¶a z ö
       òò (a dydz + a dzdx + a dxdy ) = òòò çç ¶x
            x        y         z                                   +
                                                                       ¶y
                                                                              +        ÷dxdydz =
                                                                                   ¶z ÷ø
        S                                          S   è
или, применяя теорему о среднем:
                                                                                                   7

Страницы