ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
| |
A E- =l 0
(14)
Ес ли рас крыть дан ный оп ре де ли тель, как в рас смот рен ном при -
ме ре 1, то по лу чит ся мно го член сте пе ни n от но си тель но
l
, на зы вае мый
ха рак те ри сти че ским мно го чле ном мат ри цы А.
Оп ре де ле ние 2. Урав не ние
| |
A E- =l 0
на зы ва ет ся ха рак те ри сти че -
ским урав не ни ем мат ри цы А.
Та ким об ра зом, соб ст вен ные зна че ния мат ри цы А яв ля ют ся кор -
ня ми ее ха рак те ри сти че ско го урав не ния.
За ме ча ние 1. Ес ли век тор
x
яв ля ет ся соб ст вен ным век то ром мат -
ри цы А, при над ле жа щим соб ст вен но му зна че нию
l
, то для лю бо го чис -
ла
k ¹ 0
век тор
k x
— то же соб ст вен ный век тор А, при над ле жа щий
l
.
Дей ст ви тель но, ес ли
x
— ре ше ние урав не ния (12), то
( )A E x- =l 0
. Но
то гда
( )( ) ( )A E k x k A E x k- = - = =l l 0 0
.
За ме ча ние 2. Од но му соб ст вен но му зна че нию мо жет со от вет ст во -
вать не сколь ко ли ней но не за ви си мых соб ст вен ных век то ров.
| A - l E| = 0 (14)
Если раскрыть данный определитель, как в рассмотренном при-
мере 1, то получится многочлен степени n относительно l, называемый
характеристическим многочленом матрицы А.
Определение 2. Уравнение | A - lE| = 0 называется характеристиче-
ским уравнением матрицы А.
Таким образом, собственные значения матрицы А являются кор-
нями ее характеристического уравнения.
Замечание 1. Если вектор x является собственным вектором мат-
рицы А, принадлежащим собственному значению l, то для любого чис-
ла k ¹ 0 вектор k x — тоже собственный вектор А, принадлежащий l.
Действительно, если x — решение уравнения (12), то ( A - lE ) x = 0. Но
тогда ( A - lE )(k x ) = k( A - lE ) x = k0 = 0.
Замечание 2. Одному собственному значению может соответство-
вать несколько линейно независимых собственных векторов.
