Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ:

МУМ | Москва

Составители:

Казанцев Э.Ф.

Рубрика:

Алгебра. Линейная алгебра

Оп ре де ле ние 1. Не ну ле вой век тор

на зы ва ет ся соб ст вен -

ным век то ром квад рат ной мат ри цы А по ряд ка n, ес ли

A x x= l

, (11)

где

— не ко то рое чис ло.

При этом чис ло

на зы ва ет ся соб ст вен ным зна че ни ем мат ри цы А.

Го во рят так:

есть соб ст вен ный век тор мат ри цы A при над ле жа щий ее

соб ст вен но му зна че нию

Та ким об ра зом, в раз би рае мом при ме ре из со от но ше ния (10) сле -

ду ет, что «век тор бюд же тов» X яв ля ет ся соб ст вен ным век то ром струк -

тур ной мат ри цы тор гов ли А, а со от вет ст вую щее соб ст вен ное зна че ние

рав но 1. Су ще ст во ва ние та ко го соб ст вен но го век то ра вы те ка ет из сле -

дую щей тео ре мы.

Тео ре ма. Ес ли в мат ри це А сум ма эле мен тов ка ж до го столб ца рав -

на 1, то име ет ся соб ст вен ный век тор, при над ле жа щий соб ст вен но му

зна че нию 1.

При мер 1. Най дем соб ст вен ные век то ры и соб ст вен ные зна че ния

сле дую щей мат ри цы по ряд ка 2:

A =

1 2

1 4

По ло жим,

x x x

= ( , )

— век тор-стол бец. То гда из со от но ше ния

(11) сле ду ет, что

1 2

1 4

т.е.

x x x

2 2

+ =

- + =

или

                                         æ x1 ö
                                         ç ÷
                                         çx ÷
     Определение 1. Ненулевой вектор x = ç 2 ÷ называется собствен-
                                           K
                                         ç ÷
                                         çx ÷
                                         è nø
ным вектором квадратной матрицы А порядка n, если
       A x = l x,                                                   (11)
где l — некоторое число.
      При этом число l называется собственным значением матрицы А.
Говорят так: x есть собственный вектор матрицы A принадлежащий ее
собственному значению l.

      Таким образом, в разбираемом примере из соотношения (10) сле-
дует, что «вектор бюджетов» X является собственным вектором струк-
турной матрицы торговли А, а соответствующее собственное значение
равно 1. Существование такого собственного вектора вытекает из сле-
дующей теоремы.

      Теорема. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца рав-
на 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному
значению 1.

     Пример 1. Найдем собственные векторы и собственные значения
следующей матрицы порядка 2:
                                    æ 1 2ö
                               A = çç      ÷÷.
                                    è -1 4 ø
      Положим, x = ( x 1 , x 2 )T — вектор-столбец. Тогда из соотношения
(11) следует, что
                         æ 1 2 öæ x 1     ö æ x1     ö
                         çç      ÷÷çç     ÷÷ = lçç   ÷÷,
                          è -1 4 øè x 2    ø è x2     ø
т.е.
                              x1 + 2 x 2 = l x1
                            - x1 + 4 x 2 = l x 2

или
                                                                     47

Заказать работу

Вы здесь

Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5. Казанцев Э.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ:

Казанцев Э.Ф.

Алгебра. Линейная алгебра

Страницы