ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
( )
( )
1 2 0
4 0
1
2
1
2
- + =
- + - =
l
l
x x
x x
(12)
Ес ли век тор
x
— соб ст вен ный, то это оз на ча ет, что од но род ная
сис те ма урав не ний (12) име ет не ну ле вое ре ше ние. Это ус ло вие эк ви ва -
лент но то му, что оп ре де ли тель системы (12) равен нулю:
1 2
1 4
-
- -
½
½
½
½
½
½
l
l
или
l l
2
5 6 0- + =
,
l
1
2=
,
l
2
3=
. Та ким об ра зом, соб ст вен ны ми зна че -
ния ми мат ри цы А бу дут чис ла 2 и 3.
Най дем со от вет ст вую щие соб ст вен ные век то ры. Под ста вим
l = 2
,
l = 3
в сис те му (12):
l = 2
- + =x x
1
2
2 0
- + =x x
1
2
2 0
- + =x x
1
2
2 0,
x t x t
1
2
2= =,
x t t= ¹( , ), .2 1 0
l = 3
- + =2 2 0
1
2
x x
- + =x x
1
2
0
x t x t
1
2
= =,
x t t= ¹( , ), .11 0
Рас су ж де ния из при ме ра 1 мож но обоб щить на слу чай про из воль -
ной мат ри цы А по ряд ка n. Ус ло вие (11) мож но пе ре пи сать в ви де:
Ax x- =l 0
или
( )A E x- =l 0
. (13)
Од но род ная сис те ма урав не ний (13) то гда и толь ко то гда име ет
не ну ле вое ре ше ние , ко гда ее оп ре де ли тель ра вен ну лю:
48
(1 - l) x 1 + 2 x 2 = 0
(12)
- x 1 + (4 - l) x 2 = 0
Если вектор x — собственный, то это означает, что однородная
система уравнений (12) имеет ненулевое решение. Это условие эквива-
лентно тому, что определитель системы (12) равен нулю:
1-l
½ 2 ½
½ ½
½ -1 4 - l½
или l 2 - 5l + 6 = 0, l 1 = 2, l 2 = 3. Таким образом, собственными значе-
ниями матрицы А будут числа 2 и 3.
Найдем соответствующие собственные векторы. Подставим l = 2,
l = 3 в систему (12):
l =2
- x1 + 2 x 2 = 0
- x1 + 2 x 2 = 0
- x 1 + 2 x 2 = 0,
x 1 = 2t , x 2 = t
x = t (2,1), t ¹ 0.
l =3
-2 x 1 + 2 x 2 = 0
- x1 + x 2 = 0
x1 = t , x 2 = t
x = t (11
, ), t ¹ 0.
Рассуждения из примера 1 можно обобщить на случай произволь-
ной матрицы А порядка n. Условие (11) можно переписать в виде:
Ax - lx = 0
или
( A - lE ) x = 0. (13)
Однородная система уравнений (13) тогда и только тогда имеет
ненулевое решение , когда ее определитель равен нулю:
48
