Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
Ал геб ра, в ши ро ком по ни ма нии, мо жет быть оп ре де ле на как нау -
ка о сис те мах объ ек тов, в ко то рых ус та нов ле ны опе ра ции сход ные со
сло же ни ем и ум но же ни ем чи сел.
Ли ней ная ал геб ра — это часть ал геб ры, изу чаю щая век тор ные
(ли ней ные) про стран ст ва, а так же ли ней ные ото бра же ния (опе ра то ры),
ли ней ные, би ли ней ные и квад ра тич ные функ ции (функ цио на лы) на
век тор ных про стран ст вах.
Ис то ри че ски пер вым раз де лом ли ней ной ал геб ры бы ла тео рия
ли ней ных урав не ний, в свя зи с чем воз ник ло по ня тие оп ре де ли те ля
(Г.Кра мер, 1750 г.). В 1849 г. К.Га усс пред ло жил но вый ме тод для прак -
ти че ско го вы чис ле ния ре ше ний сис тем ли ней ных урав не ний. А в 1877 г.
Ф.Фро бе ни ус ввел по ня тие мат ри цы, что по зво ли ло яв но вы ра зить ус -
ло вия со вме ст но сти и оп ре де лен но сти сис те мы ли ней ных уравнений.
В XX ве ке цен траль ное по ло же ние в ли ней ной ал геб ре за ни ма ет
изу че ние век тор но го про стран ст ва, од ним из важ ней ших по ня тий ко то -
ро го яв ля ет ся по ня тие ли ней но го ото бра же ния (пре об ра зо ва ния). Глав -
ной за да чей в тео рии ли ней ных пре об ра зо ва ний слу жит за да ча о вы бо ре
ба зи са, в ко то ром мат ри ца пре об ра зо ва ний при ни ма ет про стей ший вид.
На ос но ве по ня тия век тор но го про стран ст ва оп ре де ля ют ся раз -
лич ные клас си че ские про стран ст ва, изу чае мые в гео мет рии: евк ли до -
вы, аф фин ные, про ек тив ные и др. Ме тод ко ор ди нат сво дит к за да чам
ли ней ной ал геб ры раз лич ные во про сы ана ли ти че ской гео мет рии.
Тео рия век тор ных про странств име ет тес ные свя зи с тео ри ей
групп (вся кое век тор ное про стран ст во — это груп па по сло же нию)
(см. Раз дел 1).
Сле дом за век тор ной ал геб рой воз ник ла тен зор ная ал геб ра, как
обоб ще ние век тор но го ис чис ле ния и тео рии мат риц (Г.Рич чи-Кур ба ст -
ро, 1910 г.).
     ВВЕДЕНИЕ

      Алгебра, в широком понимании, может быть определена как нау-
ка о системах объектов, в которых установлены операции сходные со
сложением и умножением чисел.
      Линейная алгебра — это часть алгебры, изучающая векторные
(линейные) пространства, а также линейные отображения (операторы),
линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы) на
векторных пространствах.
      Исторически первым разделом линейной алгебры была теория
линейных уравнений, в связи с чем возникло понятие определителя
(Г.Крамер, 1750 г.). В 1849 г. К.Гаусс предложил новый метод для прак-
тического вычисления решений систем линейных уравнений. А в 1877 г.
Ф.Фробениус ввел понятие матрицы, что позволило явно выразить ус-
ловия совместности и определенности системы линейных уравнений.
      В XX веке центральное положение в линейной алгебре занимает
изучение векторного пространства, одним из важнейших понятий кото-
рого является понятие линейного отображения (преобразования). Глав-
ной задачей в теории линейных преобразований служит задача о выборе
базиса, в котором матрица преобразований принимает простейший вид.
      На основе понятия векторного пространства определяются раз-
личные классические пространства, изучаемые в геометрии: евклидо-
вы, аффинные, проективные и др. Метод координат сводит к задачам
линейной алгебры различные вопросы аналитической геометрии.
      Теория векторных пространств имеет тесные связи с теорией
групп (всякое векторное пространство — это группа по сложению)
(см. Раздел 1).
      Следом за векторной алгеброй возникла тензорная алгебра, как
обобщение векторного исчисления и теории матриц (Г.Риччи-Курбаст-
ро, 1910 г.).

Страницы