Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Мат ри ца, все эле мен ты ко то рой рав ны ну лю, на зы ва ет ся ну ле вой
мат ри цей. Ну ле вая мат ри ца 3-го по ряд ка:
( )
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3
=
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
Мат ри ца, ко ли че ст во строк и столб цов ко то рой оди на ко во и рав -
но n, на зы ва ет ся квад рат ной мат ри цей по ряд ка n. Со во куп ность
a
ii
эле -
мен тов об ра зу ют глав ную диа го наль. Мат ри ца, все эле мен ты ко то рой,
кро ме диа го наль ных рав ны ну лю, на зы ва ет ся диа го наль ной мат ри цей.
Ес ли все диа го наль ные эле мен ты рав ны еди ни це, то име ем еди нич ную
мат ри цу E
n
(все это от но сит ся к квад рат ной мат ри це):
E =
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
1 0 0
0 1 0
0 0 1
K
K
K K K K
K
.
3) Сум мой мат риц A и B на зы ва ет ся мат ри ца C, мат рич ные эле -
мен ты ко то рой рав ны сум ме со от вет ст вую щих мат рич ных эле мен тов
мат риц А и В:
c
ij
= a
ij
+ b
ij
.
Свой ст во сум мы мат риц: A + B = B + A.
При мер:
a a a
a a a
b b b
b b b
11 12 13
21
22 23
11 12 13
21
22 23
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+ + +
+ + +
æ
è
ç
ç
a b a b a b
a b a b a b
11 11 12 12 13 13
21 21
22 22 23 23
ö
ø
÷
÷
.
4) Про из ве де ни ем мат ри цы A на чис ло a яв ля ет ся мат ри ца C = aA,
эле мен ты ко то рой по лу ча ют ся ум но же ни ем ка ж до го эле мен та мат ри цы
A на a:
c a
ij ij
= a
.
Свой ст ва про из ве де ния мат риц:
a a a( )A B A B+ = +
;
( )a b a b+ = +A A A
;
( ) ( )a b a bA A=
;
C A B A B= - = + -( )1
, то есть c
ij
= a
ij
– b
ij
.
Ум но же ние мат ри цы A на мат ри цу B до пус ти мо (су ще ст ву ет), ес -
ли чис ло столб цов мат ри цы A рав но чис лу строк мат ри цы B.
6
     Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой
                                                 æ0 0 0ö
                                                 ç       ÷
матрицей. Нулевая матрица 3-го порядка: ( 0) 3 = ç 0 0 0 ÷
                                                 ç0 0 0÷
                                                 è       ø
      Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и рав-
но n, называется квадратной матрицей порядка n. Совокупность aii эле-
ментов образуют главную диагональ. Матрица, все элементы которой,
кроме диагональных равны нулю, называется диагональной матрицей.
Если все диагональные элементы равны единице, то имеем единичную
матрицу En (все это относится к квадратной матрице):
                                     æ1 0 K 0ö
                                     ç        ÷
                                     ç0 1 K 0÷
                                  E =ç         .
                                       K K K K÷
                                     ç        ÷
                                     ç0 0 K 1÷
                                     è        ø

     3) Суммой матриц A и B называется матрица C, матричные эле-
менты которой равны сумме соответствующих матричных элементов
матриц А и В:
                                        ci j= ai j + bi j .
      Свойство суммы матриц: A + B = B + A.

      Пример:
    æ a11   a12   a13 ö æ b11     b12     b13 ö æ a11 + b11     a12 + b12   a13 + b13 ö
    ç                  ÷+ç                     ÷=ç                                     ÷.
    ça      a22   a23 ÷ø çè b21   b22     b23 ÷ø çè a21 + b21   a22 + b22   a23 + b23 ÷ø
    è 21

      4) Произведением матрицы A на число a является матрица C = aA,
элементы которой получаются умножением каждого элемента матрицы
A на a: c ij = aaij .

      Свойства произведения матриц:
            a ( A + B) = aA + aB; (a + b) A = aA + bA; (ab) A = a (bA);
                    C = A - B = A + (-1)B, то есть ci j= ai j – bi j.
      Умножение матрицы A на матрицу B допустимо (существует), ес-
ли число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
6

Страницы