Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В об щем слу чае
AB BA¹
; ес ли же
AB BA=
, то та кие мат ри цы на зы -
ва ют ся ком му ти рую щи ми.
5) Свой ст ва мат риц:
а) Ас со циа тив ность: (AB) C = A(BC) = ABC.
б) Ди ст ри бу тив ность: A(B+C) = AB + AC.
в) Ум но же ние на еди нич ную мат ри цу: E
m
A = AE
m
= A.
г) Ум но же ние на ну ле вую мат ри цу: AB = 0 (ес ли A или B = 0).
Од на ко ес ли AB = 0, то это не зна чит, что A = 0 или B = 0.
При мер:
4 1
2 05
1 2
4 8
0 0
0 0.
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
×
-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
3.1.2 Оп ре де ли те ли
1) Ко ли че ст вен ной ха рак те ри сти кой мат ри цы яв ля ет ся ее
определитель.
Оп ре де ли тель D — это не ко то рое чис ло, со от вет ст вую щее квад рат -
ной мат ри це . Толь ко квад рат ная мат ри ца име ет оп ре де ли тель:
D =
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
a a a
a a a
a a a
n
n
n
n nn
11 12 1
21
22 2
1
2
K
K
K K K K
K
.
По фор ме он сов па да ет с мат ри цей и его на зы ва ют оп ре де ли те лем
мат ри цы. Обо зна ча ют D = det A, или
| |
A
. Чи та ют: «де тер ми нант А».
det (AB) = det (BA) = det A × det B.
2) По оп ре де ле нию, оп ре де ли тель 2-го по ряд ка ра вен раз но сти
про из ве де ний эле мен тов глав ных диагоналей:
a a
a a
a a a a
11 12
21
22
11
22
12 21
= -
8
     В общем случае AB ¹ BA; если же AB = BA, то такие матрицы назы-
ваются коммутирующими.

      5) Свойства матриц:
      а) Ассоциативность: (AB)C = A(BC) = ABC.
      б) Дистрибутивность: A(B+C) = AB + AC.
      в) Умножение на единичную матрицу: EmA = AEm = A.
      г) Умножение на нулевую матрицу: AB = 0 (если A или B = 0).
      Однако если AB = 0, то это не значит, что A = 0 или B = 0.
      Пример:

                      æ 4 1 ö æ 1 -2 ö æ 0 0 ö
                      çç       ÷÷ × çç  ÷÷ = çç ÷÷.
                       è 2 0.5 ø è -4 8 ø è 0 0 ø


      3.1.2 Определители

     1) Ко ли че ст вен ной ха рак те ри сти кой мат ри цы яв ля ет ся ее
определитель.
     Определитель D — это некоторое число, соответствующее квадрат-
ной матрице . Только квадратная матрица имеет определитель:

                              ½a11      a12   K a1 n½
                              ½a        a22   K a2 n½
                           D =½ 21                  ½.
                              ½K        K     K K½
                              ½an1     an 2   K ann½

     По форме он совпадает с матрицей и его называют определителем
матрицы. Обозначают D = det A, или | A|. Читают: «детерминант А».

                   det (AB) = det (BA) = det A × det B.

     2) По определению, определитель 2-го порядка равен разности
произведений элементов главных диагоналей:

                           a11   a12
                                       = a11 a22 - a12 a21
                           a21   a22

8

Страницы