Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4. Казанцев Э.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) Оп ре де ли тель ра вен ну лю, ес ли все эле мен ты ка ко го-ни будь
столб ца (стро ки) рав ны ну лю или один из столб цов (стро ки) яв ля ет ся
ли ней ной ком би на ци ей лю бых его дру гих столб цов (стро ки) (т.е. рав ны
два столбца или строки).
в) Ум но же ние оп ре де ли те ля на чис ло k рав но знач но ум но же нию
всех эле мен тов ка ко го-ни будь столб ца (стро ки) на k.
г) Ве ли чи на оп ре де ли те ля не из ме нит ся, ес ли к ка ко му-ни будь
столб цу(стро ке) при ба вить дру гой стол бец (стро ку), ум но жен ный на
чис ло k.
д) Сум ма про из ве де ний эле мен тов лю бой стро ки (столб ца) на ал -
геб раи че ские до пол не ния к со от вет ст вую щим эле мен там дру гой стро ки
(столбца) равна нулю.
4) Вы чис ле ние оп ре де ли те лей бо лее вы со ко го по ряд ка, пред ло -
жен ны ми вы ше спо со ба ми, свя за но с гро мозд ки ми вы чис ле ния ми. По -
это му здесь сле ду ет вос поль зо вать ся пе ре чис лен ны ми свой ст ва ми оп -
ре де ли те лей.
При мер:
1 3 2 2
0 2 2 1
1 2 1 1
1 1 3 0
- -
-
- - -
-
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
=
Тат как во вто рой стро ке оп ре де ли те ля уже име ет ся один ноль, то
пре об ра зу ем оп ре де ли тель так, что бы во вто рой стро ке боль шин ст во
эле мен тов ока за лись рав ны ми ну лю. Для это го ко вто ро му столб цу при -
ба вим чет вер тый стол бец, ум но жен ный на 2 и к треть ему столб цу при -
ба вим чет вер тый, умноженный на –2. В результате получим:
1 1 2 2
0 0 0 1
1 0 1 1
1 1 3 0
1 1
1 1 2
1 0
2 4
- -
- -
-
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
= × -
-
-
+
( ) 1
1 1 3-
½
½
½
½
½
½
½
½
=
Да лее, к треть ему столб цу при ба вим пер вый стол бец. В ре зуль та те
получим:
1 1 3
1 0 0
1 1 4
1 1
1 3
1 4
1
2 1
-
-
-
½
½
½
½
½
½
½
½
= - × -
-
-
½
½
½
½
½
½
= -
+
( ) ( ) ( )× - × - = - + = -4 3 1 4 3 1( )
10
      б) Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь
столбца (строки) равны нулю или один из столбцов (строки) является
линейной комбинацией любых его других столбцов (строки) (т.е. равны
два столбца или строки).
      в) Умножение определителя на число k равнозначно умножению
всех элементов какого-нибудь столбца (строки) на k.
      г) Величина определителя не изменится, если к какому-нибудь
столбцу(строке) прибавить другой столбец (строку), умноженный на
число k.
      д) Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на ал-
гебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки
(столбца) равна нулю.
      4) Вычисление определителей более высокого порядка, предло-
женными выше способами, связано с громоздкими вычислениями. По-
этому здесь следует воспользоваться перечисленными свойствами оп-
ределителей.
              ½ 1 3 -2 -2½
              ½ 0 -2 2       1½
      Пример:½                ½=
               -1 2 -1 -1
              ½               ½
              ½ 1 -1 3       0½
      Тат как во второй строке определителя уже имеется один ноль, то
преобразуем определитель так, чтобы во второй строке большинство
элементов оказались равными нулю. Для этого ко второму столбцу при-
бавим четвертый столбец, умноженный на 2 и к третьему столбцу при-
бавим четвертый, умноженный на –2. В результате получим:

                 ½ 1 -1     2 -2½
                 ½0 0                           ½ 1 -1 2½
                            0 1½
                                ½ = 1× (-1) -1 0 1½ =
                                           2 + 4½
                 ½
                                                ½       ½
                 ½-1 0      1 -1½
                                                ½ 1 -1 3½
                 ½ 1 -1     3 0½

     Далее, к третьему столбцу прибавим первый столбец. В результате
получим:

      ½ 1 -1 3½
      ½-1 0 0½ = (-1) × (-1) 2 + 1½-1 3½
                                  ½    ½ = (-1)× 4 - 3 × (-1) = -4 + 3 = -1
      ½       ½                   ½-1 4½
      ½ 1 -1 4½
10

Страницы